教学目标

1. 理解排列与组合的基本概念，能区分有序排列与无序组合。

2. 掌握排列数公式 A_n^m 与组合数公式 C_n^m 及其推导过程，并能进行准确计算。

3. 能够运用分类加法、分步乘法、捆绑法、插空法等策略解决简单的实际问题。

4. 通过小组合作探究活动，体会数学建模思想，提升逻辑思维与解决实际问题的能力。

教学过程

一、情境导入（约10分钟）

1. 活动“破冰站位”：请4位同学上台，两两握手（组合）与互相交换礼物（排列），让其他学生观察并描述两种行为的区别。

2. 引出问题：从甲、乙、丙3人中选2人分别担任班长和学习委员，与仅选出2人参加座谈会，在选法上有何本质不同？

3. 学生讨论后，教师明确：前者与顺序有关是排列，后者与顺序无关是组合。

二、新知探究（约25分钟）

1. 概念形成

排列定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列。

组合定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，合成一组，不考虑顺序。

关键辨析：组织学生列举生活实例（如电话号码、比赛对阵、抽奖等）强化概念理解。

2. 公式推导与理解

排列数公式 A_n^m = n(n-1)...(n-m+1)：采用“占位法”思路探究。例：从5个人中选3人排成一列，第一个位置有5种选择，第二个位置有4种，第三个位置有3种，共5×4×3=60种。

组合数公式 C_n^m = A_n^m / A_m^m：通过对比排列与组合的关系得出。重点阐释“除以A_m^m”是为了消除m个元素内部的顺序。

阶乘表示：介绍A_n^m = n!/(n-m)!，C_n^m = n!/[m!(n-m)!]。

三、活动案例与实践策略（约35分钟）

1. 案例活动：“校园艺术节策划”

任务一（分步乘法）：艺术节有5个歌唱节目、3个舞蹈节目。要排一个开场节目（歌或舞）和一个压轴节目（与开场类型不同），有多少种安排方式？(5×3+3×5=30)

任务二（捆绑法）：3个舞蹈节目要连在一起演出，所有节目单有多少种排法？(将3个舞蹈捆绑，与5个歌唱全排列，再内部排列，6!×3!=4320)

任务三（插空法）：3个舞蹈节目彼此不相邻，有多少种排法？(先排5个歌唱节目，产生6个空，选3个空插入舞蹈，A_5^5 × A_6^3=14400)

学生分小组讨论、计算、汇报，教师点评并归纳解题策略。

2. 常见解题策略归纳

分类加法计数原理（互斥事件，用“或”连接）。

分步乘法计数原理（连续步骤，用“且”连接）。

特殊元素/位置优先考虑。

相邻问题“捆绑法”。

不相邻问题“插空法”。

正难则反（间接法）。

四、巩固练习与小结（约20分钟）

1. 分层练习：

基础题：计算 C_10^2，A_8^4；从6名学生中选3人做值日，与选3人分别担任不同职务，各有多少种方法。

应用题：用0,1,2,3,4组成没有重复数字的三位数中，偶数有多少个？

2. 课堂小结：引导学生回顾排列、组合的核心区别、计算公式及常用解题策略。

3. 布置作业：设计一道与校园生活相关的排列组合应用题，并解答。

板书设计

（左侧主板书）

标题：排列与组合

一、定义

1. 排列（有序）：A_n^m

2. 组合（无序）：C_n^m

二、公式

1. A_n^m = n(n-1)...(n-m+1) = n!/(n-m)!

2. C_n^m = A_n^m / A_m^m = n!/[m!(n-m)!]

三、核心区别

顺序性（关键词： “排队”“任命”/“选出”“一组”）

（右侧副板书）

解题策略

• 分类加法 • 分步乘法

• 特殊优先 • 捆绑（相邻）

• 插空（不相邻） • 间接法

案例区：“艺术节节目单”

任务1：（分步） 5×3 + 3×5=30

任务2：（捆绑） (5+1)! × 3! = 4320

任务3：（插空） A_5^5 × A_6^3 = 14400