一、教学目标
1. 理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导过程，体会数形结合与向量法在公式推导中的应用。
2. 掌握公式的结构特征，并能运用公式进行简单的三角函数求值、化简及证明。
3. 在公式的探究与解题应用中，提升逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养。
二、教学过程
1. 情境引入，提出问题
复习回顾单位圆上任意角的三角函数定义。
提出问题：已知任意角α，β的正弦、余弦值，能否求出cos(α-β)的值？例如，cos15°能否用特殊角（如45°，30°）的三角函数值表示？引发认知冲突，激发探究兴趣。
2. 合作探究，推导公式
环节一：几何法推导cos(α-β)公式。
引导学生回顾两点间距离公式。
在平面直角坐标系中作单位圆，标出角α，β及其差角(α-β)的终边与单位圆的交点P₁(cosα， sinα)， P₂(cosβ， sinβ)。
引导学生发现弦P₁P₂的长度可以用两种方式表示：一是利用两点间距离公式，二是利用旋转角(α-β)所对的弦长（即2|sin[(α-β)/2]|）。
通过建立等式，化简整理，推导出公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。
强调推导中的关键点：单位圆、距离不变性、坐标表示。
环节二：逻辑演绎，推导其他公式。
在cos(α-β)公式基础上，通过诱导公式进行代换。
令β替换为-β，结合诱导公式，推导出cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。
利用诱导公式sinθ=cos(π/2-θ)，将正弦转化为余弦，引导学生自主或分组尝试推导sin(α+β)与sin(α-β)的公式。
教师巡视指导，最后师生共同明确两角和与差的正弦公式。
3. 剖析结构，深化理解
引导学生观察四个公式的符号规律与函数名称规律（“正余余正，符号同前”；“余余正正，符号相反”）。
分析公式的“变角”、“变名”功能，强调公式左边是单角α，β的复合形式，右边是单角α，β的三角函数乘积形式。
通过填空、判断正误等即时小练习，强化对公式形式的记忆和理解。
4. 例题精讲，初步应用
例题1：求值应用。 计算sin15°，cos75°的值。展示两种思路：一是直接利用两角差公式（如sin15°=sin(45°-30°)），二是利用诱导公式转化为互补角关系。强调灵活选取拆分角的方式。
例题2：化简证明。 化简表达式：cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ。引导学生识别公式的“逆用”，即将其看作cos[(α+β)-β]，从而简化为cosα。强调公式的双向应用。
例题3：条件求值。 已知sinα=3/5，α∈(π/2, π)， cosβ=-5/13，β∈(π, 3π/2)，求cos(α-β)。重点讲解解题步骤：先根据角范围求cosα，sinβ的值（注意符号判断），再代入公式计算。渗透方程思想与分类讨论思想。
5. 变式练习，巩固提升
给出分层练习题：
基础题：直接套用公式求值、化简（如cos23°cos22°-sin23°sin22°）。
提高题：公式逆用与变形应用（如化简sin(α+β)-2sinαcosβ / 2cosαsinβ-sin(α-β)）。
综合题：与三角形内角和定理、同角关系结合（如在△ABC中，已知cosA=4/5， cosB=12/13，求cosC）。
学生板演与讲解相结合，教师针对共性错误（如符号错误、角度范围忽略、公式选择不当）进行集中点评。
6. 课堂小结，布置作业
引导学生从知识（公式内容、推导主线）、方法（数形结合、向量法、化归）、应用三个维度回顾总结。
布置作业：包含公式记忆、基础计算、综合应用及预习（两角和的正切公式）的分层作业。
三、板书设计
主板书（居中）：
§3.1.1 两角和与差的正弦、余弦公式
1. cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
推导（几何法）：单位圆、两点距离相等
关键：P₁(cosα, sinα), P₂(cosβ, sinβ)
2. cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ （以-β代β）
3. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ （诱导转化推导）
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
（规律总结区）
口诀： 正余余正符号同，余余正正符号反。
功能： 变角（单角→和差角）、变名。
副板书（右侧）：
例题区：
例1：sin15°=sin(45°-30°)=… 答案：√6-√2/4
例2：原式=cos[(α+β)-β]=cosα
例3步骤：求cosα=-4/5， sinβ=-12/13 → 代入公式计算。
学生练习区： （预留空白供学生板演）
关键词： 单位圆、坐标、距离、诱导公式、逆用、范围。