2010江苏高考数学最后一题，就是那道定义新性质 P(a) 的压轴函数题，能完整做出来的人是真·大神。当年考完一片哀嚎，很多人在这一题基本拿不到分。下面就用大白话给你拆一下。
一、题目是个啥？
题目定义：如果函数 f(x) 在 (1, +∞) 上，它的导数能写成 f ‘(x) = h(x)(x²
二、第一部分（求证和求单调区间）
1. 求证：给你 f(x) = x²/(x+1) + b/x，让你证它有性质 P(b)。大神操作：直接求导！
导数 f ‘(x) = (2x(x+1)
看括号里，是不是正好是 (x²
2. 求单调区间：导数的正负取决于 (x²
令 g(x) = x²
关键：它的判别式 Δ = b²
套路来了：
如果 |b| <= 2，那么 Δ <= 0，g(x) >= 0 恒成立，所以 f ‘(x) >= 0，函数在 (1, +∞) 上单调递增。
如果 b > 2，g(x)=0 有两个正根，设大根为 x2，那么在 (1, x2) 上 g(x)<0>0，函数单调递增。
如果 b < -2，g(x)=0 两根一正一负，在 (1, +∞) 上 g(x)>0 恒成立，函数单调递增。
三、第二部分（真正的难点，比较函数值大小）
已知函数 g(x) 具有性质 P(2)，还给了俩变量 α、β 的复杂表达式，以及 α、β >1 且 α < β，条件：|g(α)
大神破题思路：
1. 抓核心：因为 g(x) 有性质 P(2)，所以它的导数 g’(x) = h(x)(x²
2. 转化不等式：既然 g(x) 单调递增，且 α < β，那么左边 |g(α)-g(β)| = g(β)-g(α)。同理，因为 x₁ < x xss=clean>
3. 构造函数：把上面式子移项，得到 g(β)
4. 终极操作（简化版）：分析后发现，要满足那个差值不等式，实质上要求函数值的变化速度（不是导数本身，因为导数恒正）满足某种关系。这往往需要结合 α、β 的具体形式，讨论参数 m 在不同区间时，α、β 相对于 x₁, x₂ 的位置，从而判断函数值差的大小。最后解出来 m 的取值范围通常是像 (0, 1/2) 这样的开区间（具体答案需严格计算）。当年标准答案的推导过程极其繁琐，涉及到代数变形和不等式放缩，是区分顶尖学霸和普通高手的分水岭。
一句话概括：第一问是送分（计算），第二问是真·神仙打架。能做出来的，要么是竞赛生，要么是脑子转得比计算机还快的数学天才。这套卷子当年被称为“史上最难”，平均分惨不忍睹，据说只有80多分，最后一题的“功劳”不小。