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江苏2012高考数学填空题最后一题怎么解

真题回顾题号：第14题已知条件：设函数 $f(x) = ln xfrac{x}{e}$，$g(x) = frac{e}{x}ln x$，若实数 $a,b$ 满足 $f(a)=g(b)$，求 $a+b$ 的取值范围。硬核解法1. 核心思路：用...

栏目：升学考试 作者：admin 更新时间：2026-07-30 09:41:45 阅读：88 次

真题回顾

题号：第14题

已知条件：设函数 $f(x) = ln x

  • frac{x}{e}$，$g(x) = frac{e}{x}
  • ln x$，若实数 $a,b$ 满足 $f(a)=g(b)$，求 $a+b$ 的取值范围。

    • 硬核解法

    1. 核心思路：用对称性+单调性。

  • 由 $f(a)=g(b)$ 得 $ln a
  • frac{a}{e} = frac{e}{b} - ln b$
  • 移项：$ln a + ln b = frac{a}{e} + frac{e}{b}$
  • 即 $ln(ab) = frac{a}{e} + frac{e}{b}$

    • 2. 关键转化：

  • 观察结构，猜对称点。令 $a=b=t$，代入得 $ln(t^2) = frac{t}{e} + frac{e}{t}$
  • 试特殊值：$t=e$ 时，$ln(e^2)=2$，右边 $frac{e}{e}+frac{e}{e}=2$，成立。

    • 3. 利用函数性质：

  • 研究 $h(t)=frac{t}{e}+frac{e}{t}$，在 $t>0$ 时最小值在 $t=e$ 取得，值为 $2$。
  • $ln(ab)$ 随 $ab$ 增大而增大，但 $ab$ 受 $h(t)ge 2$ 约束，得 $ln(ab) ge 2$，即 $ab ge e^2$。

    • 4. 最终范围：

  • 由 $ab ge e^2$ 且 $a,b>0$，利用基本不等式 $a+b ge 2sqrt{ab} ge 2e$。
  • 答案：$a+b in [2e, +infty)$。

    • 考场速杀口诀

  • 看见“$f(a)=g(b)$”先想对称，试 $a=b$ 找特殊点。
  • 对数加分式，优先凑均值不等式。
  • 取值范围题，单调性+最值直接定边界。

    • 高频考点

  • 函数对称性观察
  • 对数与分式混合运算
  • 利用基本不等式求范围

    • 附：当年考生反馈

  • 多数人卡在“$ln(ab) = frac{a}{e} + frac{e}{b}$”不会转化。
  • 突破口：意识到 $frac{a}{e}+frac{e}{b} ge 2$ 是关键。
  • 真题答案确认：$[2e, +infty)$。

    • 说完即停。

    阅读提示

    建议先抓核心知识点，再看例题或表达方式，复习时可结合范文素材和作文栏目一起使用。

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