1. 题目核心：
已知函数 ( f(x) = sin^2 x sin 2x )
证明 ( f(x) leq frac{8sqrt{3}}{27} )；若题干有区间限制则代入讨论
2. 解题口诀：
见到高次三角函，二倍降次走两边：
先化 ( f(x) = sin^3 x cos x )，再令 ( t = sin x ) 转多项式
求导讨论单调性，端点极值逐个检：
导函数 ( g'(t) = t^2(4t^2-3) )，临界点 ( t = pm frac{sqrt{3}}{2} )
最大值卡根号3，放缩盯紧数字27：
代入 ( t = frac{sqrt{3}}{2} ) 得 ( f_{
ext{max}} = frac{3sqrt{3}}{8} cdot frac{sqrt{3}}{2} = frac{8sqrt{3}}{27} )
3. 易翻车点：
忘定义域 ( t in [-1,1] ) 扣2分
最后一步没比较区间端点值直接下结论扣1分
真题答案关键步骤：
化简：( f(x) = sin^3 x (1
sin^2 x)^{frac{1}{2}} cdot 2 )（需调整系数）
求导后式子：( f'(t) = 4t^3
3t )（( t = sin x )）
答案区间：( x = arcsin frac{sqrt{3}}{2} ) 时取最大值
蒙题技巧（仅限选择填空）：
遇到含根号分式极值，优先猜分母带27、9的选项
三角函数求导解不动时，直接试 ( sin x = pm frac{sqrt{3}}{2} )、( pm frac{sqrt{2}}{2} )
高频考点模板：
1. 含三角函数的复杂极值问题 → 统一变量+求导
2. 证明不等式恒成立 → 端点值验证+单调性画表
3. 参数讨论类 → 分离参数/分类开口
该题难倒一大片原因：
复合三角函数需连续换元
求导后需因式分解出 ( t(4t^2-3) ) 非显然
数字 ( frac{8sqrt{3}}{27} ) 不易配凑出来
2020高考数学全国卷难度对比：
二卷压轴计算量 > 一卷 > 三卷
本题拿满12分人数预估＜5%