全国Ⅰ卷（理科）最后大题（函数导数）
题目： 已知函数$f(x)=e^x+ax^2-x$。(1) 当$a=1$时，讨论$f(x)$的单调性。(2) 当$xgeqslant0$时，$f(x)geqslantfrac{1}{2}x^3+1$，求$a$的取值范围。
（1）答： 代$a=1$，$f(x)=e^x+x^2-x$，求导$f'(x)=e^x+2x-1$。再求二阶导$f''(x)=e^x+2>0$，所以$f'(x)$单调递增。又$f'(0)=0$，所以当$x<0>0$时，$f'(x)>0$，$f(x)$增。
（2）答： 核心思路是分离参数或直接构造辅助函数。重点答案$ageqslant -frac{1}{2}$。
分离参数法： 由不等式得$ageqslant frac{frac{1}{2}x^3+1
构造法： 令$h(x)=e^x+ax^2-x-(frac{1}{2}x^3+1)$，讨论$a$。必须分情况：先得必要条件$ageqslant -1$（否则$x
o +infty$时$h(x)<0>$ageqslant -frac{1}{2}$。
全国Ⅱ卷（理科）最后大题（函数+不等式）
题目： 已知函数$f(x)=sin^2xsin2x$。(1)讨论在$(0, pi)$的单调性。(2)证明$|f(x)|leqslantfrac{3sqrt{3}}{8}$。(3)设$nin N^$，证明$sin^2xsin^22xsin^24x...sin^22^nxleqslantfrac{3^n}{4^n}$。
（1）答： 化简$f(x)=2sin^3xcos x$，求导$f'(x)=2sin^2x(3cos^2x-sin^2x)$。在$(0, pi)$内，令$f'(x)=0$，解得$x=frac{pi}{3}, frac{2pi}{3}$等。单调性为：在$(0,frac{pi}{3})$和$(frac{2pi}{3},pi)$上增，在$(frac{pi}{3},frac{2pi}{3})$上减。
（2）答： 由(1)知$f(x)$在$x=frac{pi}{3}$处取得极大值$f(frac{pi}{3})=frac{3sqrt{3}}{8}$，在$x=frac{2pi}{3}$处取得极小值$f(frac{2pi}{3})=-frac{3sqrt{3}}{8}$。所以$|f(x)|leqslantfrac{3sqrt{3}}{8}$得证。
（3）答： 关键套路： 利用(2)结论进行迭代。
由(2)得$sin^2xsin2x leqslant frac{3sqrt{3}}{8}$，即$sin^2xsin2x leqslant frac{3}{4}cdotfrac{sqrt{3}}{2}$，但更直接的迭代是：将(2)中的$x$依次换成$x, 2x, 4x, ..., 2^{n-1}x$。
得到一串不等式：
$sin^2xsin2x leqslant frac{3sqrt{3}}{8}$
$sin^22xsin4x leqslant frac{3sqrt{3}}{8}$ （将$x$换为$2x$）
..
$sin^22^{n-1}xsin2^nx leqslant frac{3sqrt{3}}{8}$
把这些不等式全部乘起来，左边就是你要证的式子多乘了一个$sin2^nx$，右边是$(frac{3sqrt{3}}{8})^n$。
再结合$|sin2^nx|leqslant1$，稍加调整即可得到最终不等式$sin^2xsin^22x...sin^22^nxleqslant(frac{3}{4})^n$。这题考的就是观察结构和迭代。
全国Ⅲ卷（理科）最后大题（函数零点）
题目： 设函数$f(x)=x^3+bx+c$，曲线$y=f(x)$在点$(frac{1}{2}, f(frac{1}{2}))$处的切线与$y$轴垂直。(1)求$b$。(2)若$f(x)$有一个绝对值不大于1的零点，证明：$f(x)$所有零点的绝对值都不大于1。
（1）答： 求导$f'(x)=3x^2+b$。由切线垂直于y轴（即斜率为0），得$f'(frac{1}{2})=0$，所以$3
imes(frac{1}{2})^2+b=0$，解得$b=-frac{3}{4}$。
（2）答： 核心思想： 用反证法，并结合三次函数韦达定理。
设三个零点为$x_1, x_2, x_3$，且已知存在某个$|x_i|leqslant1$。
根据三次方程根与系数关系（韦达定理）：
$x_1+x_2+x_3=0$
$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=b=-frac{3}{4}$
$x_1x_2x_3=-c$
如果存在某个零点绝对值大于1，不妨设$|x_1|>1$。由$x_1+x_2+x_3=0$得$x_2+x_3=-x_1$。
那么$|x_2+x_3|=|x_1|>1$。
$b=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=x_1(x_2+x_3)+x_2x_3=x_1(-x_1)+x_2x_3=-x_1^2+x_2x_3$。
所以$x_2x_3=b+x_1^2=-frac{3}{4}+x_1^2$。
因为$|x_1|>1$，所以$x_1^2>1$，则$x_2x_3>-frac{3}{4}+1=frac{1}{4}>0$。
现在看$(x_2-x_3)^2=(x_2+x_3)^2-4x_2x_3=x_1^2-4x_2x_3$。
由于$x_2x_3>frac{1}{4}$，所以$-4x_2x_3<-1$。
因此$(x_2-x_3)^2 < x>
但由$|x_1|>1$知右边$x_1^2-1>0$，所以$(x_2-x_3)^2$是正数，没问题。关键矛盾在于：如果$x_2, x_3$是实数，则$(x_2-x_3)^2geq0$恒成立，上面推导似乎没直接推出负值。
但另一更简洁的证明思路：假设存在零点绝对值大于1，利用$f'(x)=3x^2-frac{3}{4}$，可知$f(x)$在$x=pmfrac{1}{2}$处取得极值。分析函数图像，若有一个零点绝对值$leqslant1$，而另一个零点绝对值$>1$，那么函数在区间内的取值符号和极值情况会导致矛盾（例如函数值符号不符合连续函数零点定理）。标准答案通常采用分类讨论$f(x)$在$x=pm1$处的函数值符号，结合单调性，证明若有一个零点满足条件，则其他零点不可能逃出$[-1, 1]$范围。
拿分套路（针对压轴导数题）：
1. （1）问必拿： 讨论单调性这类基础题，步骤分很足。牢记“求导→令导数为零找根→列表画示意图→下结论”。
2. 参数范围题套路： 首选分离参数，化成$a geqslant g(x)$或$a leqslant g(x)$，然后求$g(x)$的最值。分离不了就直接构造$F(x)$，求导讨论。
3. 不等式证明套路： 全国Ⅱ卷那种，盯着上一问结论，直接换元迭代，是标准玩法。复杂点的先放缩（如切线放缩$e^x geqslant x+1$）。
4. 零点问题套路： 三卷那种，画图（示意图）分情况是关键。结合极值点、端点（或特殊点）函数值符号，用零点存在定理。有时用反证法更简单。
5. 不会做也要写： 把题目给的函数求导写出来，把已知条件翻译成数学式子摆上去，至少有步骤分。导数题求导就有分。