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升学考试 2014年高考数学压轴题考了啥,现在看还觉得难

2014年高考数学压轴题考了啥,现在看还觉得难

新课标II卷(全国卷之一)题面:函数 (f(x)={rm e}^x-{rm e}^{-x}-2x)。考了啥:1. 讨论单调性(简单,求导判断符号就行)。2. 设 (g(x)=f(2x)-4bf(x)),(x>0)时 (g(x)>0),求...

新课标II卷(全国卷之一)

题面:函数 (f(x)={rm e}^x-{rm e}^{-x}-2x)。

考了啥

1. 讨论单调性(简单,求导判断符号就行)。

2. 设 (g(x)=f(2x)-4bf(x)),(x>0)时 (g(x)>0),求 (b) 最大值。这要反复求导判断,最后得出最大值是 (2)。

3. 已知 (sqrt{2}) 的近似范围,估计 (ln 2) 的近似值(精确到0.001)。这要用第(2)问结论,分 (b leq 2) 和 (b > 2) 讨论,卡出 (ln 2) 在0.6928和0.6934之间,最终得 0.693

现在看难不难:函数是双曲正弦的变形,现在高中生接触的导数题比这复杂、技巧性更强的多了去了。核心考的是用导数工具分析函数性质通过代数变形和放缩进行数值估计。难点在当时可能在于(3)问如何利用(2)问的结论构造不等关系,现在这种“借力打力”的题很常见了,套路化了,所以感觉会降一点。

安徽卷理科

题面:实数 (c>0),整数 (p>1),数列 ({a_n}) 满足 (a_1>c^{frac{1}{p}}),(a_{n+1}=frac{p-1}{p} a_n+frac{c}{p} a_n^{1-p})。

考了啥

1. 证明伯努利不等式:当 (x>-1),且 (x

eq 0) 时,((1+x)^p>1+px)。用数学归纳法。

2. 证明数列满足 (a_n > a_{n+1} > c^{frac{1}{p}})。核心是不等式证明数学归纳法,要利用第(1)问的结论进行放缩。

现在看难不难:纯数列不等式证明,现在这种题在压轴位置少了,更多是导数、解析几何的天下。难点在于如何将递推式与伯努利不等式联系起来进行放缩。对现在擅长代数变形和熟悉经典不等式的学生来说,可能不算最难的,但对当时考生绝对是思维跳跃性的考验。

辽宁卷(最后一次自主命题)

题面:已知函数 (f(x)=(cos x) cdot x

  • frac{sin x}{(cos x)^2}, x in (0, frac{pi}{2}))。
  • 考了啥

    1. 证明存在唯一 (x_0) 使 (f(x_0)=0)。零点存在定理+单调性。

    2. 证明存在唯一 (x_1) 使某个式子成立,且 (x_1 > x_0)。这问极其复杂,涉及构造新函数利用对称性转化问题代数变形技巧(特别是处理对数函数时,做除法消去自变量简化运算)。

    现在看难不难:这题当年被公认“奇怪”且难。现在看,它的分析思路和变形技巧依然属于高难度范畴,不是靠刷题就能轻易解决的。需要很强的分析转化能力观察力。就算放到现在,能完整做出来的也是少数尖子生,绝对还是难题

    北京卷理科

    考了啥:没给具体题,但当年评析说理科难度比往年增了,尤其点名立体几何比较“诡异”,出题形态变化导致很多平时不错的同学也处理不好。

    总结一下:

    函数与导数是绝对核心,像II卷的数值估计、辽宁卷的复杂分析都是这个路数。

    数列与不等式(安徽卷)是另一个经典压轴题型,对代数功底要求深。

    现在看:因为这些年高考题也在进化,学生训练强度更大,见过的题型和套路更多,所以像II卷、安徽卷这种有明确方法和套路的题,相对难度感知会下降。但像辽宁卷那种需要极强洞察力和创造性转化的题,放今天依然是硬骨头。压轴题的“难”从纯计算转向了思维深度、知识综合运用和临场应变能力

    阅读提示

    建议先抓核心知识点,再看例题或表达方式,复习时可结合范文素材和作文栏目一起使用。