新课标II卷(全国卷之一)
题面:函数 (f(x)={rm e}^x-{rm e}^{-x}-2x)。
考了啥:
1. 讨论单调性(简单,求导判断符号就行)。
2. 设 (g(x)=f(2x)-4bf(x)),(x>0)时 (g(x)>0),求 (b) 最大值。这要反复求导判断,最后得出最大值是 (2)。
3. 已知 (sqrt{2}) 的近似范围,估计 (ln 2) 的近似值(精确到0.001)。这要用第(2)问结论,分 (b leq 2) 和 (b > 2) 讨论,卡出 (ln 2) 在0.6928和0.6934之间,最终得 0.693。
现在看难不难:函数是双曲正弦的变形,现在高中生接触的导数题比这复杂、技巧性更强的多了去了。核心考的是用导数工具分析函数性质、通过代数变形和放缩进行数值估计。难点在当时可能在于(3)问如何利用(2)问的结论构造不等关系,现在这种“借力打力”的题很常见了,套路化了,所以感觉会降一点。
安徽卷理科
题面:实数 (c>0),整数 (p>1),数列 ({a_n}) 满足 (a_1>c^{frac{1}{p}}),(a_{n+1}=frac{p-1}{p} a_n+frac{c}{p} a_n^{1-p})。
考了啥:
1. 证明伯努利不等式:当 (x>-1),且 (x
eq 0) 时,((1+x)^p>1+px)。用数学归纳法。
2. 证明数列满足 (a_n > a_{n+1} > c^{frac{1}{p}})。核心是不等式证明和数学归纳法,要利用第(1)问的结论进行放缩。
现在看难不难:纯数列不等式证明,现在这种题在压轴位置少了,更多是导数、解析几何的天下。难点在于如何将递推式与伯努利不等式联系起来进行放缩。对现在擅长代数变形和熟悉经典不等式的学生来说,可能不算最难的,但对当时考生绝对是思维跳跃性的考验。
辽宁卷(最后一次自主命题)
题面:已知函数 (f(x)=(cos x) cdot x
考了啥:
1. 证明存在唯一 (x_0) 使 (f(x_0)=0)。零点存在定理+单调性。
2. 证明存在唯一 (x_1) 使某个式子成立,且 (x_1 > x_0)。这问极其复杂,涉及构造新函数、利用对称性转化问题、代数变形技巧(特别是处理对数函数时,做除法消去自变量简化运算)。
现在看难不难:这题当年被公认“奇怪”且难。现在看,它的分析思路和变形技巧依然属于高难度范畴,不是靠刷题就能轻易解决的。需要很强的分析转化能力和观察力。就算放到现在,能完整做出来的也是少数尖子生,绝对还是难题。
北京卷理科
考了啥:没给具体题,但当年评析说理科难度比往年增了,尤其点名立体几何比较“诡异”,出题形态变化导致很多平时不错的同学也处理不好。
总结一下:
函数与导数是绝对核心,像II卷的数值估计、辽宁卷的复杂分析都是这个路数。
数列与不等式(安徽卷)是另一个经典压轴题型,对代数功底要求深。
现在看:因为这些年高考题也在进化,学生训练强度更大,见过的题型和套路更多,所以像II卷、安徽卷这种有明确方法和套路的题,相对难度感知会下降。但像辽宁卷那种需要极强洞察力和创造性转化的题,放今天依然是硬骨头。压轴题的“难”从纯计算转向了思维深度、知识综合运用和临场应变能力。