题目（第20题）：
已知椭圆 (C: frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1) 过点 (A(2,-1))，离心率为 (frac{sqrt{2}}{2})。
（1）求 (C) 的方程；
（2）设过点 (B(4,0)) 的直线交 (C) 于 (M,N) 两点，求 (
riangle BMN) 面积的最大值。
联立方程直接算答案：
1. 椭圆方程：
离心率 (e = frac{c}{a} = frac{sqrt{2}}{2})，得 (c = frac{sqrt{2}}{2}a)。
代入 (a^2 = b^2 + c^2)，解得 (b^2 = frac{1}{2}a^2)。
点 (A(2,-1)) 代入椭圆方程：
[
frac{4}{a^2} + frac{1}{b^2} = 1 quad Rightarrow quad frac{4}{a^2} + frac{2}{a^2} = 1 quad Rightarrow quad a^2 = 6, quad b^2 = 3.
]
答案：(frac{x^2}{6} + frac{y^2}{3} = 1)。
2. 面积最大值：
设直线 (MN: y = k(x-4))，联立椭圆方程：
[
frac{x^2}{6} + frac{k^2(x-4)^2}{3} = 1 quad Rightarrow quad (1+2k^2)x^2
16k^2x + 32k^2
6 = 0.
]
弦长 (|MN| = sqrt{1+k^2} cdot frac{sqrt{Delta}}{|1+2k^2|})，其中 (Delta = 96k^4
96k^2 + 24)。
点 (B(4,0)) 到直线 (MN) 的距离 (d = frac{|4k|}{sqrt{1+k^2}})。
面积 (S = frac{1}{2} cdot d cdot |MN| = frac{12sqrt{2}k^2 sqrt{1-2k^2}}{1+2k^2})（化简后）。
令 (t = 1+2k^2)，得 (S = 6sqrt{2} cdot sqrt{-frac{1}{4} + t
frac{1}{t}})，当 (t=2)（即 (k^2=frac{1}{2})）时取最大值。
答案：最大值为 (3sqrt{2})。
硬核口诀：
解析几何核心套路：设直线→联立→韦达定理→弦长公式→求最值（均值不等式/求导）。
弦长公式：(|AB| = sqrt{1+k^2} cdot frac{sqrt{Delta}}{|a|})（(Delta) 为联立方程的判别式）。
最值问题优先考虑：换元法（尤其含 (k^2) 分式）、均值不等式、判别式法。
说完即停。