题干回顾
函数 ( f(x) = x^2 + ax + b )，( g(x) = e^x (cx + d) )。曲线 ( y = f(x) ) 与 ( y = g(x) ) 在点 ( (0,2) ) 处有相同切线。
第一问：求 ( a, b, c, d )
1. 点 ( (0,2) ) 同时在 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 上：
( f(0)=2 Rightarrow b=2 )；
( g(0)=2 Rightarrow d=2 )。
2. 切线相同 ⇒ 在 ( x=0 ) 处导数相等：
( f'(x)=2x+a Rightarrow f'(0)=a )；
( g'(x)=e^x(cx+d+c) Rightarrow g'(0)=d+c=2+c )。
列方程：( a = 2+c )。
3. 切线斜率还可用点 ( (0,2) ) 和另一条件？题给“相同切线”已用导数值相等处理完，但需验证选项。
标准解法：由 ( b=2, d=2 )，且 ( f'(0)=g'(0) Rightarrow a=2+c )。
常见参考答案：取 ( c=1 Rightarrow a=3 )，得 ( a=3, b=2, c=1, d=2 )。（具体卷子答案需查，这里按典型解）
第二问：证明 ( f(x) < g>
1. 构造 ( h(x) = g(x)
2. 求导 ( h'(x) = e^x(x+3)
3. 关键步骤：
当 ( x<0 x=-3>
( x<0 h(0)=0>0 ) 时 ( h(x)>0 )。
但题目要证 ( f(x)
4. 标准答案修正：
应构造 ( h(x)=g(x)-f(x) )，目标证 ( h(x)>0 )（除 ( x=0 ) 等号）。
通过导数分析得 ( h(x) ) 最小值在 ( x=0 ) 取得 ( 0 )，故 ( h(x) ge 0 )，且除 ( x=0 ) 外恒正。
硬核技巧