一、常见题型与拆解套路
1. 讨论单调性
看见含参数a的函数f(x)，让求单调区间：
第一步：求导 f'(x)。
第二步：令导函数=0，解方程或因式分解。
第三步：关键来了——讨论参数a！通常按 a=0，a>0，a<0>1，a=1，a<1>表格把x、f'(x)、f(x)变化列清楚。
口诀：导数正，原函数增；导数负，原函数减。讨论核心是参数影响导函数符号。
2. 证明不等式恒成立
“当x>0时，求证f(x)≥0”这种：
首选方法：求导，研究f(x)在给定区间的最小值。只要最小值≥0，就搞定。
常用招式：把不等式变形，比如“证明x
“存在x使f(x)≥g(x)成立”或“对所有x，f(x)
转化：移项构造新函数h(x)=f(x)-g(x)，问题变成 h(x)的最大值≥0 或 h(x)的最大值<0>看清是“存在”还是“恒成立”，这决定用最大值还是最小值。
3. 求极值、最值
基础步骤：求导→令导数为0→列表画图看f'(x)符号变化→左增右减是极大值，左减右增是极小值。
如果给定了区间[a,b]，别忘了把区间端点值和极值点函数值都比一比，最大就是最大值，最小就是最小值。
4. 零点问题
“讨论f(x)零点个数”：
思路：先单调，再看图。
①求导，确定函数大致走势（哪里增，哪里减，极值点在哪）。
②数形结合，画出f(x)草图，重点是极值点和x→±∞时的趋势。
③看极值点符号：极大值>0且极小值<0>零点存在定理（函数连续，区间两头异号）卡范围。
硬核技巧：有时需要分离参数，变成“y=a 与 y=g(x) 图像交点个数”问题，画g(x)图更简单。
二、导数压轴高频考点与抢分模板
含参讨论分类点：就那几个——导函数根的大小、根与定义域位置关系、根是否在区间内。画个数轴，把参数分段，一段段说清楚。
不等式证明：
看见e^x 和 lnx 打架：常用放缩，比如 e^x ≥ x+1 (x=0取等)，lnx ≤ x-1 (x=1取等)。用它们化简，可能秒杀。
二次求导：一次导 f'(x) 复杂不好判正负？那就对 f'(x) 再求导，研究 f‘’(x)，判断 f'(x) 单调性，从而确定 f'(x) 符号。
洛必达法则（慎用，填空选择可尝试，大题需铺垫）：如果要求“当x→a时，f(x)/g(x)的极限”，且是0/0或∞/∞型，可以对分子分母分别求导再求极限。大题里用，必须先说明满足条件。
最后一问答“能不能找到，有几个”：先猜后证。通常从特殊情况（比如参数取0、1）入手，找到感觉，再一般化讨论。
三、2020真题核心思路回顾（以全国卷Ⅰ理科第21题为例）
题眼：f(x)=e^x + ax^2
思路复盘：
1. 求导：f'(x)=e^x + 2ax -1。
2. 单调性讨论：f'(x)的符号难定，因为e^x恒正但带参数a。核心讨论点是f'(x)的最小值（通过二阶导或观察）。需分a≥0和a<0>
3. 不等式证明：目标式变形，构造新函数g(x)=f(x) + 某部分。核心是多次求导，不断研究新函数的单调性，最终归溯到某个恒正或恒负的式子。关键步骤是“求导→分析→再构造→再求导”，像剥洋葱，一层层化简。
4. 必备动作：定义域优先（x≥0），每步求导必写定义域，列表清晰，分类讨论不重不漏。