原题回顾： 已知函数 ( f(x) = e^x )，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点A, B, C，给出以下判断：
① △ABC一定是钝角三角形
② △ABC可能是直角三角形
③ △ABC可能是等腰三角形
④ △ABC不可能是等腰三角形
正确的判断是（ ）。
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
答案是B。
解题口诀与套路句式：
“函数图象凹凸定，三点等差画图明，中点导数判钝角，等腰必看中点横。”
甩给你就能用的解题思路：
1. 核心性质：题目给的 ( f(x) = e^x ) 是下凸函数（也就是二阶导大于0）。这是解这类题的通用钥匙。
2. 设点：设三个点的横坐标为 ( a-d, a, a+d )，对应的纵坐标就是 ( e^{a-d}, e^a, e^{a+d} )。它们横坐标成等差数列。
3. 判断①（钝角三角形）：核心是看中点 B 的位置。
向量 (overrightarrow{BA} = ( -d, e^{a-d}
由于 ( f(x) = e^x ) 是下凸函数，根据 Jensen 不等式 或几何意义，中点 B 的纵坐标 ( e^a ) 小于 线段 AC 中点（横坐标为 ( a )，纵坐标为 ( (e^{a-d} + e^{a+d})/2 )）的纵坐标。
这导致了向量点积 (overrightarrow{BA} cdot overrightarrow{BC} < 0>一定是钝角三角形。
4. 判断③④（等腰三角形）：核心是看横坐标等差对称能不能推出纵坐标相等。
如果三角形是等腰三角形（假设 AB=BC），那么中点 B 的横坐标 a 必须恰好是 AC 的中点。
但由凸函数性质可知，( e^a < (e^{a-d} + e^{a+d})/2 )，这意味着点 B 不在线段 AC 的垂直平分线上。简单说，两个腰不可能相等。
不可能是等腰三角形。
蒙题/快速判断技巧（时间紧时用）：
记住一个结论：对于下凸函数图像上任意三点（横坐标等差），构成的三角形一定是钝角且不等腰。反过来，上凸函数图像上的三点，构成的三角形一定是锐角且不等腰。
本题函数是典型的 ( e^x )，属强下凸，直接选①和④的组合，也就是B选项。看到这种“等差数列点+函数图像”的组合题，先想函数凹凸性，基本就稳了。
这道题想考你啥：
考的就是数形结合和函数的基本性质（单调性、凹凸性），不需要复杂计算，但需要把几何图形关系（三角形形状）翻译成代数条件（向量点积、中点坐标），再用函数性质去判断。 很多人卡在“等腰”的判断上，就是没把“等腰”这个几何条件用坐标语言彻底说清楚。压轴题有时就爱在基本概念的深挖上做文章。