一、 已知首项、公差、项数，求末项或总和
例题：等差数列首项a₁=3，公差d=2，项数n=10，求第10项a₁₀和总和S₁₀。
直接套公式：aₙ=a₁+(n-1)d → a₁₀=3+9×2=21。Sₙ=n(a₁+aₙ)/2 → S₁₀=10×(3+21)/2=120。
核心：公式记牢别代错，计算细心防粗心。
二、 已知两项或部分项，反求首项/公差/项数
例题：等差数列中a₅=11，a₉=19，求a₁和d。
解法：a₅和aₙ相差4个公差，d=(a₉-a₅)/(9-5)=8/4=2。再往回推，a₁=a₅-4d=11-8=3。
关键：利用aₘ=aₙ+(m-n)d这个关系式，像爬楼梯一样，知道任意两级台阶的高度差和级数差，就能算出一级台阶多高。
三、 等差数列的判定与证明
给出一个数列的通项公式或前n项和公式，让你判断是不是等差数列。
比如给Sₙ=2n²+3n，证明是等差数列。
两种证法：一是算aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=4n+1，再算aₙ-aₙ₋₁=4是常数。二是等差数列前n项和一定是关于n的二次函数且常数项为0，这里形式符合。
高阶考法：给个递推关系比如aₙ₊₁=2aₙ-aₙ₋₁，移项得aₙ₊₁-aₙ=aₙ-aₙ₋₁，直接说明后项减前项相等。
四、 等差中项的应用
三个数成等差数列，中间那个就是等差中项，满足2b=a+c。
常考两种场景：一是简化计算，比如三个数之和为15，且成等差数列，那中间数就是5，另外俩是5-d和5+d。二是结合其他知识，比如在方程或解析几何中，告诉你三个数成等差，立刻设它们为x-d, x, x+d，这样求和时d会自动抵消，特别好用。
五、 等差数列的性质综合与最值问题
性质比如：若m+n=p+q，则aₘ+aₙ=aₚ+a_q。前n项和Sₙ、S₂ₙ-Sₙ、S₃ₙ-S₂ₙ也成等差数列。
最值问题分两种：一是公差d为负数时，数列先正后负，求和Sₙ有最大值。找到正负分界的那项，也就是最后一个正数项或第一个负数项，离零点最近的项对应和最大。二是把Sₙ看成关于n的二次函数，用配方法或顶点公式求最值。比如Sₙ=-n²+20n，配方得-(n-10)²+100，n=10时Sₙ最大为100。