2013数学一 第15题（求极限）
1. 写原式：(lim_{x
o 0} frac{int_0^x (x-t)sin t^2 , dt}{x^6})
2. 分子变序：(int_0^x (x-t)sin t^2 , dt = xint_0^x sin t^2 , dt
3. 拆成两项：原式= (lim_{x
o 0} frac{xint_0^x sin t^2 , dt}{x^6}
4. 对第一项：(int_0^x sin t^2 , dt) 用泰勒，(sin t^2 = t^2
5. 对第二项：(int_0^x tsin t^2 , dt)，代入泰勒得 (int_0^x (t^3
6. 两项相减：分子 = ((frac{1}{3}
7. 代入极限：(frac{frac{1}{12}x^4 + o(x^4)}{x^6} rightarrow infty)，答案：极限为 (infty)。
2013数学一 第18题（中值定理证明）
1. 题目：(f(x))在([0,1])二阶可导，(|f(x)|leq a)，(|f''(x)|leq b)，证(|f'(0)|leq 2a + frac{b}{2})。
2. 对任意(t in (0,1])，在([0,t])上用泰勒：(f(t) = f(0) + f'(0)t + frac{f''(xi)}{2}t^2)
3. 所以 (f'(0) = frac{f(t)-f(0)}{t}
4. 取绝对值：(|f'(0)| leq frac{|f(t)|+|f(0)|}{t} + frac{b}{2}t leq frac{2a}{t} + frac{b}{2}t)
5. 右边看成(g(t)=frac{2a}{t}+frac{b}{2}t)，在(t in (0,1])求最小值。求导(g'(t)=-frac{2a}{t^2}+frac{b}{2}=0)，得(t=2sqrt{frac{a}{b}})
6. 讨论：若(2sqrt{frac{a}{b}} leq 1)，则最小值在(t=2sqrt{frac{a}{b}})处，代入得(g(t)_{min}=2sqrt{ab})
7. 但题目要证(|f'(0)|leq 2a+frac{b}{2})，直接取(t=1)：(|f'(0)| leq 2a + frac{b}{2} cdot 1 = 2a + frac{b}{2})，完事。
2013数学二 第16题（求旋转体体积）
1. 曲线 (y=frac{x^2}{2}) 与 (y=sqrt{4-x^2}) 交点为(( sqrt{2}, 1))
2. 绕 (y=1) 旋转，用切片法：体积 (V = pi int_0^1 [(R_{
ext{外}})^2
3. 外半径：从右曲线 (x=sqrt{2y}) 到 (y=1) 的距离：(1
4. 内半径：从左曲线 (x=sqrt{4-y^2}) 到 (y=1) 的距离：(sqrt{4-y^2}
其实区域由 (y=frac{x^2}{2}) 与 (y=sqrt{4-x^2}) 围成，交于 ((sqrt{2},1))。绕 (y=1) 转，对 (y) 积分从 0 到 1。
对于固定的 (y)，水平线交区域于两点：左边 (x_L = sqrt{2y}) (来自抛物线)，右边 (x_R = sqrt{4-y^2}) (来自圆)。
旋转半径 = 曲线上点到旋转轴 (y=1) 的距离：(1-y)。
所以截面圆环：外半径 = (1-y)，内半径 = ？ 不对！旋转体是实心的，这里用 柱壳法 更简单，但题可能用圆环法。
正确：旋转半径是 (1-y)，但水平距离 (x) 到旋转轴的距离？ 这里绕水平轴转，应用圆盘法：对 (y) 积分，半径是水平距离吗？ 错！绕 y=1 转，圆盘法：每个 y 处，截面是圆环，外径是右曲线到轴的水平距离？不对！绕水平轴转，圆盘法的半径是 x的绝对值吗？不对！
其实正确方法：用 平移。令 (Y = y-1)，则绕 Y=0 转。曲线变为：(Y+1 = frac{x^2}{2}) 即 (x^2=2(Y+1))，和 (Y+1=sqrt{4-x^2}) 即 (x^2+(Y+1)^2=4)。
对 (Y) 积分从 -1 到 0，体积 (V=pi int_{-1}^0 [x_2(Y)^2
其中 (x_2(Y)^2=4-(Y+1)^2) (从圆解出)，(x_1(Y)^2=2(Y+1)) (从抛物线解出)。
所以 (V=pi int_{-1}^0 [4-(Y+1)^2
令 (u=Y+1)，则 (u:0
o 1)，(V=pi int_0^1 [4-u^2-2u] , du = pi [4u
5. 答案：(frac{8pi}{3})。