1. 变形处理
把原极限 (lim_{x
o 0} left( frac{ln(1+x)}{x} right)^{frac{1}{e^x-1}}) 写成：
(lim_{x
o 0} left[ 1 + frac{ln(1+x)-x}{x} right]^{frac{1}{e^x-1}})。
2. 重要极限应用
套用公式 (lim_{t
o 0} (1+t)^{frac{1}{t}} = e)，把极限变成指数形式：
(e^{lim_{x
o 0} frac{ln(1+x)-x}{x(e^x-1)}})。
3. 等价无穷小替换
直接用 (e^x-1 sim x)，分母简化：
极限变成 (lim_{x
o 0} frac{ln(1+x)-x}{x^2})。
4. 洛必达法则
对 (frac{ln(1+x)-x}{x^2}) 上下求导：
分子求导：(frac{1}{1+x}
分母求导：(2x)
得到 (lim_{x
o 0} frac{frac{1}{1+x}
5. 算出最终答案
上一步极限直接算出来是 (-frac{1}{2})，所以最终答案就是 (e^{-frac{1}{2}})。
注意别踩的坑：
别把 (ln(1+x)) 的泰勒展开记反了，正确是 (x - frac{1}{2}x^2)，不是 (x + frac{1}{2}x^2)，记错结果就成 (e^{frac{1}{2}})，直接没分。