2007年全国1卷理科数学压轴题解法（数列题）
第一问求通项公式：
题干给的是递推关系 ，直接告诉你数列类型属于“递推法求数列通项公式” 。核心解题路径就两条：累加法或构造等比数列 。你拿到题先看两项系数，系数相等就用累加法，不相等就去构造 。
这道题系数不相等，而且an项后面加了常数项。解题口诀就是“两项后面都加同一个常数” 。怎么找这个常数？有两个常用路子：
1. 用特征方程，把两项当成x解方程得出常数。但要切记必须“两边同时减去特征方程的根”，很多同学错在这。
2. 通用解法是看下面这个常用处理套路图，照着做就行。
算出常数后，目标就明确了：先把这个新的等比数列的通项公式求出来，再反推出原数列{an}的通项公式 。
第二问证明：
题干是正整数命题，标配解法就是数学归纳法 。直接套步骤：
还有个非主流解法，对分式递推式直接求bn的通项公式再用放缩，但过程复杂、计算量超大，容易错。不建议用。
2007年江苏卷数学压轴题解法（函数综合题）
这道题全班50人没人得满分，主要是函数套函数的高次方程讨论，坑点超多。
第一问求d：
核心技巧是抓住条件作转化。题干说f(x)=0的根都是g(f(x))=0的根。设x0是f(x)=0的一个实数根，根据条件它也必须是g(f(x0))=0的根，即g(0)=0。马上算出d=0。
第二问求c范围（已知a=0,d=0）：
关键是要把两个方程先化成标准形式：f(x)=bx²+cx，g(x)=bx²+cx。然后套公式得到：
讨论路径就三种，直接记：
1. c=0，b≠0：两根都是x=0，条件成立。
2. c≠0，b=0：两根也都是x=0，条件成立。
3. b≠0，c≠0：方程①的根是x=0和x=-c/b，这两个根肯定都是方程②的根。但要想让方程②的所有实数根都是①的根，附加条件是(bx)²+bcx+c=0这个式子没有实数根。然后用判别式△ < 0>
注意还有个隐藏坑点：方程(bx)²+bcx+c=0的根也是x=0或x=-c/b的情况，题目说这种情况不成立，所以不用考虑。
第三问求c范围（已知d=0,f(1)=0,a=1）：
由条件推出b=-c，所以f(x)=cx(-x+1)。而a=1，代入得g(f(x))=f(x)[(f(x))²
后面的解题思路和第二问类似，但这里有致命细节很多人忽略：方程(f(x))²
1. 直接没实数根：判别式△ < 0>
2. 有实数根但没意义：△ ≥ 0，算出存在实数f(x)=m能让方程成立，但这个m值代入方程f(x)=m本身却没有实数x解出来。这个情况必须单独讨论，否则范围就错了。