就考这个：已知正数a,b,c满足a+b+c=1，证明：(a²+b²)/(a+b) + (b²+c²)/(b+c) + (c²+a²)/(c+a) ≥ 1。
1. 核心口诀（直接套用）
“分式求和难下手，柯西配凑走平方，齐次拆项最省时，五分钟内必须完。”
2. 快准步骤（跟着做就行）
第一步：强行柯西（最直接）
看分子 a²+b²，想 (a²+b²)/(a+b)。记住公式：a²+b² ≥ (a+b)²/2。
为啥？因为 2(a²+b²)
所以：(a²+b²)/(a+b) ≥ (a+b)²/[2(a+b)] = (a+b)/2。
第二步：轮换相加
同理：(b²+c²)/(b+c) ≥ (b+c)/2， (c²+a²)/(c+a) ≥ (c+a)/2。
三式相加：左边 ≥ [(a+b)+(b+c)+(c+a)]/2 = (2a+2b+2c)/2 = a+b+c。
第三步：代入条件
已知 a+b+c=1，所以左边 ≥ 1。证毕。
3. 高频考点套路
题型识别：条件是“正数，和为定值”，结论是轮换对称分式和≥某数，九成用“局部放缩”转成一次式。
必备公式：a²+b² ≥ (a+b)²/2 （正数时常用，背下来直接用）。
检查点：放缩后是否刚好得到条件（本题放缩后正好是a+b+c），齐次性是否匹配。
4. 防坑提醒
别用太复杂的权方和，浪费时间。
别先通分，直接单看每个分式放缩。
写完立刻检查等号成立条件（本题a=b=c=1/3时取等）。
5. 真题答案对照
标准答案就是这个柯西局部放缩法，格式按“∵…≥…, ∴…≥…, 三式相加得…”写完收工。