这题就是考你怎么“肢解”复杂问题，核心就两步：找规律、套递推。直接上干货。
第一问：证明单调性。别被一堆n吓住，直接求导。题目给的是函数(f_n(x)=x^n-(x+a)^n)，定义域(x>0)。对(x)求导：
(f'_n(x) = n x^{n-1}
因为常数(a > 0)，所以((x+a) > x)，进而((x+a)^{n-1} > x^{n-1})。所以括号里([x^{n-1}
第二问：证明不等式(f'_{n+1}(n+1) < (n+1)f'_n(n))。这步是压轴的难点，关键在于利用第一问的单调性结论和巧妙代入。
1. 利用单调性：第一问证了(f_n(x))单调递减。那就有：当(x > a > 0)时，若(n)是大于(a)的正整数，把(x=n+1)和(x=n)代入函数本身（注意不是导数），因为(n+1 > n)，所以函数值更小，即：
((n+1)^n
2. 写出目标导数：先明确(f'_{n+1}(x) = (n+1)[x^n
3. 代入并放缩：把第1步得到的不等式用上，直接替换掉括号里较小的那一项：
(f'_{n+1}(n+1) = (n+1)[(n+1)^n
4. 对比右边：题目右边是((n+1)f'_n(n))，而(f'_n(n) = n[n^{n-1}
现在比较第3步得到的( (n+1)[n^n
发现差别就在括号里减去的部分：一个是((n+a)^n)，一个是(n(n+a)^{n-1})。
因为((n+a)^n = (n+a) cdot (n+a)^{n-1})，且((n+a) > n)（因为(a>0)），所以((n+a)^n > n(n+a)^{n-1})。
(n^n
把这个带回去，就得到：
(f'_{n+1}(n+1) < (n+1)[n^n
证毕。
核心套路：
1. 遇到含参数和正整数n的函数，先尝试求导判单调，这是基础分。
2. 要证的不等式里出现(f'_{n+1})和(f'_n)，立马想到两点：一是用函数单调性得到函数值不等式（不是导数不等式），二是把导数的具体表达式写出来，别怕式子长。
3. 放缩的关键是观察结构。本题就是把((n+a)^n)拆成((n+a) cdot (n+a)^{n-1})，利用((n+a) > n)这个显然的条件完成放缩。
记住，压轴题的前两问往往紧密关联，第一问的结论就是解开第二问的钥匙。做题时别分心，条件给的每个字母（a, n）都有用，从条件出发硬推往往就有路。