一、真题回顾（理科第20题）：
已知数列( {a_n} )满足：( a_1 = 1 )，( a_{n+1} = frac{a_n}{1+a_n} )（( n geq 1 )）。
（1）求( a_2, a_3, a_4 )；
（2）求数列( {a_n} )的通项公式。
二、硬核解题套路：
1. 算前几项：直接代公式。
( a_2 = frac{1}{1+1} = frac{1}{2} )，
( a_3 = frac{frac{1}{2}}{1+frac{1}{2}} = frac{1}{3} )，
( a_4 = frac{frac{1}{3}}{1+frac{1}{3}} = frac{1}{4} )。
2. 猜通项：观察得( a_n = frac{1}{n} )。
3. 证明：用数学归纳法。
① 验证( n=1 )成立；② 假设( n=k )时( a_k = frac{1}{k} )，则( a_{k+1} = frac{frac{1}{k}}{1+frac{1}{k}} = frac{1}{k+1} )成立。
完事儿。
三、高频考点关联：
1. 递推数列：常见变形( a_{n+1} = f(a_n) )，先试探再归纳。
2. 数学归纳法：格式固定——“验证n=1，假设n=k，推n=k+1”，背熟直接用。
3. 分式递推：尝试取倒数或裂项，本题直接倒数可得( frac{1}{a_{n+1}} = frac{1}{a_n} + 1 )，秒变等差数列。