题目： 已知函数 ( f(x) = e^x
ax ) （( a in mathbb{R} )）.
（1）讨论 ( f(x) ) 的单调性；
（2）若 ( f(x) geq 0 ) 恒成立，求 ( a ) 的取值范围.
答案详解：
（1）单调性讨论：
求导： ( f'(x) = e^x
a ).
分类讨论：
1. 当 ( a leq 0 ) 时： ( e^x
a > 0 ) 恒成立，所以 ( f'(x) > 0 )，函数在 ( (-infty, +infty) ) 上单调递增。
2. 当 ( a > 0 ) 时： 令 ( f'(x) = 0 )，得 ( e^x = a )，即 ( x = ln a ).
当 ( x < ln> ( e^x < a>
当 ( x > ln a ) 时： ( e^x > a )，所以 ( f'(x) > 0 )，函数单调递增.
结论：
( a leq 0 )：单调递增区间为 ( (-infty, +infty) ).
( a > 0 )：单调递减区间为 ( (-infty, ln a) )，单调递增区间为 ( (ln a, +infty) ).
（2）恒成立问题求 ( a ) 范围：
分析： 要使 ( f(x) = e^x
ax geq 0 ) 恒成立，需找 ( a ) 使得函数最小值 ( geq 0 ).
利用（1）的单调性：
1. 当 ( a leq 0 ) 时： 函数单调递增，无最小值（当 ( x
o -infty ) 时，( f(x)
o -infty )），不满足恒大于等于0，故排除。
2. 当 ( a > 0 ) 时： 函数在 ( x = ln a ) 处取得极小值（也是最小值），最小值为 ( f(ln a) = a
a ln a ).
建立不等式： 需 ( a
a ln a geq 0 )。
因为 ( a > 0 )，可化为 ( 1
ln a geq 0 )，即 ( ln a leq 1 )，解得 ( a leq e ).
结合条件： ( a > 0 ) 且 ( a leq e )，所以 ( 0 < a>
最终答案： ( a ) 的取值范围是 ( (0, e] ).
核心要点：
单调性讨论标准流程：先求导，再根据导数正负对参数分类。
恒成立问题关键：结合单调性找到最小值点，让最小值满足条件。
本题典型套路：指数函数与线性函数组合，讨论极值点存在性。