题目： 已知函数 f(x) = (x-2)e^x + a(x-1)^2 有两个零点。
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1, x2是f(x)的两个零点，证明：x1 + x2 < 2>
核心套路硬核解析：
1. 第一问（求参）—— “求导+分类讨论+极限趋势”三板斧
套路句式： “先求导，找单调区间，画趋势草图。让函数图像与x轴有两个交点。”
具体操作：
求导： f'(x) = (x-1)e^x + 2a(x-1) = (x-1)(e^x + 2a)。
关键讨论点： 令f'(x)=0，得x=1或e^x + 2a=0。
核心分类： 就盯着 a 对 单调性 的影响分情况。
情况1： a ≥ 0时，e^x + 2a > 0恒成立。导数符号由(x-1)决定。函数在(-∞,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增。f(x)在x=1处取极小值。要让有两个零点，极小值必须小于0，即f(1) = -e + a(0) = -e < 0>还要看两端趋势：x→ -∞时，f(x) → 0^+（因为(x-2)e^x → 0，a(x-1)^2 → +∞）；x→ +∞时，f(x) → +∞。草图出来，一个极小值为负，两边都能爬到x轴以上，妥妥两个零点。 所以a≥0成立。
情况2： a < 0 xss=clean xss=clean>这里就要比较1和x0的大小，再细分。
若x0 < 1 xss=clean> -2a < e> a > -e/2。此时结合a<0>分析f(x0)和f(1)，并看趋势（x→ -∞时，f(x)→ -∞；x→ +∞时，f(x)→+∞）。经分析，要保证两个零点，需要f(x0) > 0 且 f(1) < 0>
若x0 > 1，即a < -e/2。单调区间：(-∞, 1)增，(1, x0)减，(x0, +∞)增。分析f(1)和f(x0)，结合趋势（x→ -∞时，f(x)→ -∞），发现无法得到两个零点。（常见坑点：这种情况要舍掉）。
若x0 = 1，即a = -e/2。此时f'(x)恒≥0，函数单调递增，不可能有两个零点。（舍掉）。
最终答案（Ⅰ）： a的取值范围是 (0, +∞) ∪ {a | a在某个特定区间，来自x0<1> 。（具体计算略，流程按上面走通）。
2. 第二问（证明不等式）—— “对称化构造+单调性”套路
核心口诀： “双零点证明和（或差）不等式，常用‘对称化构造’或‘齐次化’。”
具体操作（对称化构造法）：
目标： 证 x1 + x2 < 2>
等价变形： 不妨设x1 < 1>
关键转换： 因为f(x1)=0，所以只需证明 f(2-x2) < 0>
构造函数： 令g(x) = f(2-x) （其中x>1）。即g(x) = [(2-x)-2]e^(2-x) + a[(2-x)-1]^2 = (-x)e^(2-x) + a(1-x)^2。
建立联系： 我们已知f(x2)=0，即 (x2-2)e^x2 + a(x2-1)^2 = 0 => a(x2-1)^2 = -(x2-2)e^x2。
代入g(x2)： g(x2) = (-x2)e^(2-x2) + a(1-x2)^2 = (-x2)e^(2-x2) + a(x2-1)^2。把上面a的表达式代入：= (-x2)e^(2-x2)
再证g(x2)<0> 即证 (-x2)e^(2-x2)
拿分要点：
1. 第一问 必须清晰画出分类讨论树（a≥0，a<0>
2. 第二问 直接想到“对称化构造”（设x1<1 x2，证x1<2-x2），是破解此类“极值点偏移”问题的标准动作。写出转化过程，构造函数g(x)=f(2-x)，并利用f(x2)>
3. 时间控制： 压轴题不一定非要完全算完，但套路步骤（求导、分类、构造）写清晰，能拿一多半分数。