2011高考数学压轴题解析答案和解题思路

题目（回忆版）：

已知函数 $f(x) = ln(1+x)

（Ⅰ）讨论 $f(x)$ 的单调性；

（Ⅱ）若 $x>0$ 时，$f(x)<0>

解题思路与答案：

（Ⅰ）单调性分析

1. 求导：先求定义域 $x>-1$。

$f'(x) = frac{1}{1+x}

（口诀：复杂分式函数求导，先通分或使用商的求导法则，务必化简分子。）

2. 讨论：分母 $(1+x)^2 > 0$，只需看分子 $g(x) = ax^2 + 2a

当 $a=0$ 时：$f'(x) = -frac{1}{(1+x)^2} < 0>

当 $a>0$ 时：$g(x)$ 是开口向上的二次函数。判别式 $Delta = -4a(2a-1)$。

若 $2a-1 ge 0$ 即 $a ge frac{1}{2}$，则 $g(x) ge 0$ 恒成立，$f'(x) ge 0$，$f(x)$ 单调递增。

若 $0 < a g(x)=0$ xss=clean>0$；在 $(-sqrt{frac{1-2a}{a}}, sqrt{frac{1-2a}{a}})$ 上，$f'(x)<0>

当 $a<0>：$g(x)$ 是开口向下的二次函数。$sqrt{frac{1-2a}{a}}$ 在 $a<0>-1$ 上恒小于0，故 $f'(x)<0>

（Ⅱ）恒成立求参

若 $a le 0$，由（Ⅰ）知 $f(x)$ 在 $(0, +infty)$ 单调递减。又 $f(0)=0$，所以 $x>0$ 时，$f(x) < f>成立。

若 $0 < a x=sqrt{frac{1-2a}{a}}$>

若 $a = frac{1}{2}$，此时 $f'(x) ge 0$，$f(x)$ 单调递增，且 $f(0)=0$，则 $x>0$ 时 $f(x) > 0$，不满足 $f(x)<0>

当 $a > frac{1}{2}$ 时，$f(x)$ 在 $(0,+infty)$ 单调递增，$f(0)=0$，则 $f(x)>0$，不满足。

综上：（Ⅰ）答案见上。（Ⅱ）$a$ 的取值范围是 $a le 0$。

高频考点与套路：

1. 导数讨论单调性：一求导，二看导函数符号，关键在分解因式、讨论最高次项系数、比较根与定义域端点。

2. 恒成立求参数：先必要后充分。常用手法：端点分析（$x

o 0^+$）、分离参数、或分析函数单调性/最值。坑点：验证等号是否可取（本题 $a=frac{1}{2}$ 不可取）。