一、核心口诀与套路
看见根号怎么办？ 优先“凑微分”换元，尤其 `√(ax+b)` 或 `√(a²-x²)` 这类，直接令整个根号等于 `t`。
看见分式怎么办？ 先看分母导数是不是分子，是就直接 `ln|f(x)|`；不是就拆项或三角/倒代换。
`e^x` 和三角函数混一起？ 常用分部积分，记住“反对幂三指”顺序（反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数），谁在后谁先凑入微分。
纯三角函数连乘？ 背熟 `sin²x+cos²x=1` 及二倍角公式，统一函数名再积分。
二、高频考点/模板
1. 第一类换元（凑微分）：题眼是“复合函数”，模板：`∫ f[φ(x)]·φ'(x) dx = F[φ(x)] + C`。常见凑配：`∫ f(ax+b) dx` 凑 `d(ax+b)`；`∫ (1/x) f(lnx) dx` 凑 `d(lnx)`。
2. 第二类换元（去根号）：
`√(a²-x²)` → 令 `x = a·sin t`
`√(a²+x²)` → 令 `x = a·tan t`
`√(x²-a²)` → 令 `x = a·sec t`
3. 分部积分必背公式：`∫ u dv = uv
`∫ x^n·e^(ax) dx`（幂函数×指数）
`∫ x^n·sinx dx` 或 `∫ x^n·cosx dx`（幂函数×三角）
`∫ lnx dx` 或 `∫ arctanx dx`（对数/反三角单独出现）
三、蒙题/速判技巧
结果长得怪（带 `arctan`、`ln` 分式、根号），多半用了换元。
答案选项里有循环出现的式子（比如 `∫ e^x·sinx dx` 出现 `e^x(sinx-cosx)/2` 型），直接代分部积分验证。
实在做不出，优先考虑是不是要“拆项”或“配方”。
四、真题直接对应
历年大题必有 分部积分 和 换元法结合 的题（例如：先换元去根号，再用分部积分）。
小题填空高频：考察 `∫ dx/(x²+a²)`、`∫ sec²x dx` 等基本公式变形，必须秒杀。
答案形式验证：结果求导能还原被积函数就是对的，最后一定 +C。