一、平面图形面积计算
口诀：上减下，右减左，遇到极角θ，二分之一ρ方别忘掉。
1. 直角坐标求面积
例题：求曲线 ( y = x^2 ) 与 ( y = 2x ) 所围面积。
套路：
联立方程解交点：( x^2 = 2x ) → ( x=0, x=2 )。
确定上下曲线：在 ([0,2]) 上，( y=2x ) 在上，( y=x^2 ) 在下。
套公式：( A = int_{0}^{2} [(2x)
(x^2)] dx )。
算积分：( A = left[ x^2
frac{x^3}{3} right]_{0}^{2} = frac{4}{3} )。
2. 极坐标求面积
例题：求心形线 ( ρ = 1 + cosθ ) 所围面积。
套路：
直接套极坐标面积公式：( A = frac{1}{2} int_{α}^{β} ρ^2 dθ )。
积分区间取完整图形：( θ ) 从 ( 0 ) 到 ( 2π )。
计算：( A = frac{1}{2} int_{0}^{2π} (1 + cosθ)^2 dθ = frac{3π}{2} )。
高频考点：遇到对称图形（如心形线、玫瑰线），积分区间减半再乘2，省计算量。
二、旋转体体积计算
口诀：绕x轴转用圆盘法，绕y轴转用柱壳法，看见“绕非轴直线”就平移。
1. 绕x轴旋转
例题：求 ( y = sqrt{x} ) 在 ([0,4]) 上绕x轴旋转所得体积。
套路：
圆盘法公式：( V_x = π int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx )。
代入：( V = π int_{0}^{4} (sqrt{x})^2 dx = π int_{0}^{4} x dx = 8π )。
2. 绕y轴旋转
例题：求 ( y = x^2 ) 在 ([0,2]) 上绕y轴旋转体积。
套路：
柱壳法公式：( V_y = 2π int_{a}^{b} x f(x) dx )。
代入：( V = 2π int_{0}^{2} x cdot x^2 dx = 2π int_{0}^{2} x^3 dx = 8π )。
三、物理应用（功、压力）
口诀：恒力做功乘距离，变力做功就积分；液体压力套公式 ( ρgh ) 乘面积。
1. 变力做功
例题：弹簧拉长从 0 到 0.1m，劲度系数 ( k=100N/m )，求做功。
套路：
变力 ( F = kx )。
做功 ( W = int_{0}^{0.1} 100x dx = 0.5 J )。
2. 液体压力
例题：矩形闸门宽2m高3m，顶部在水面下1m，求水压力。
套路：
压力公式：( P = ρg int_{a}^{b} h(x) cdot l(x) dx )。
建立坐标系：取水深 ( h ) 为积分变量，闸门竖直放置，( h ) 从 1 到 4。
代入：( P = 1000 cdot 9.8 int_{1}^{4} h cdot 2 dh = 117600 N )。
高频考点：闸门竖直时，( h ) 是变量；水平时压力用 ( ρgh
imes 面积 ) 直接算。
四、解题陷阱避坑
1. 面积别漏绝对值：图形在x轴下方时，被积函数加绝对值或分段积分。
2. 体积选对方法：绕y轴旋转时，用柱壳法通常比切片法快。
3. 单位统一：物理应用题中，长度单位用米，密度用 ( kg/m^3 )，( g=9.8 )。