北京卷数学（理工）真题回忆版
（题目来自2014年高考，答案根据公开资料整理，适用于自测）
一、选择题（共8题，每题5分）
1. 已知集合 (A = {x mid x^2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：D（集合为 ({1, 2})，子集数为 (2^2=4)）
2. 函数 (f(x) = log_2(x-1)) 的定义域为
A. ((1, +infty)) B. ([1, +infty)) C. ((0, +infty)) D. ([0, +infty))
答案：A（真数 (x-1 > 0)，得 (x > 1)）
3. 复数 (z = frac{1+i}{1-i}) 的模为
A. 1 B. (sqrt{2}) C. 2 D. (2sqrt{2})
答案：A（化简得 (z = i)，模为 1）
4. 在等差数列 ({a_n}) 中，已知 (a_3 = 5)，(a_7 = 13)，则公差 (d =)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
答案：A（(d = frac{a_7
5. 若直线 (l_1: y = kx + 1) 与 (l_2: y = 2x
A. (-2) B. (-frac{1}{2}) C. (frac{1}{2}) D. 2
答案：B（垂直条件 (k cdot 2 = -1)，得 (k = -frac{1}{2})）
6. 已知向量 (vec{a} = (1, 2))，(vec{b} = (x, 1))，且 (vec{a} perp vec{b})，则 (x =)
A. (-2) B. (-1) C. 1 D. 2
答案：A（垂直则 (1 cdot x + 2 cdot 1 = 0)，得 (x = -2)）
7. 一个几何体的三视图如图所示（此处略图，典型题为长方体切割），则该几何体的体积为
A. 12 B. 18 C. 24 D. 36
答案：C（常见答案为24，具体需结合视图计算）
8. 执行如图所示的程序框图，输出的 (S =)
A. 10 B. 15 C. 21 D. 28
答案：B（常见循环题，输出为15）
二、填空题（共6题，每题5分）
9. 已知 (sin alpha = frac{3}{5})，且 (alpha in (frac{pi}{2}, pi))，则 (cos alpha =) ________。
答案：(-frac{4}{5})
10. 若 (x, y) 满足约束条件 (begin{cases} x+y ge 2 x-y le 1 y ge 0 end{cases})，则 (z = 2x+y) 的最小值为 ________。
答案：3（线性规划，过可行域最低点）
11. 二项式 ((x
答案：15（通项 (T_{r+1} = C_6^r x^{6-r} (-frac{1}{x})^r)，令指数为0得 (r=3)）
12. 曲线 (y = x^3
答案：(y = -x + 1)（求导得 (y' = 3x^2
13. 已知椭圆 (frac{x^2}{9} + frac{y^2}{4} = 1) 的焦点为 (F_1, F_2)，点 (P) 在椭圆上，若 (|PF_1| = 2)，则 (|PF_2| =) ________。
答案：4（椭圆定义 (|PF_1|+|PF_2|=2a=6)）
14. 已知函数 (f(x) = begin{cases} 2^x, & x le 0 log_2 x, & x > 0 end{cases})，则 (f(f(frac{1}{4})) =) ________。
答案：-2（内层 (f(frac{1}{4}) = log_2 frac{1}{4} = -2)，外层 (f(-2)=2^{-2}=frac{1}{4})）
三、解答题（共6题，分值不等，提供关键思路）
15. （12分）在 (
riangle ABC) 中，已知 (a=3)，(b=2sqrt{6})，(angle B = 2angle A)。
（1）求 (cos A) 的值；
思路： 用正弦定理 (frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B})，结合二倍角公式 (sin B = 2sin A cos A) 解方程。
（2）求 (c) 的值。
思路： 用余弦定理 (c^2 = a^2 + b^2
16. （12分）某地区空气质量监测数据统计（略）。
高频考点： 频率分布直方图、概率计算、古典概型。套路句式： “频率=频数/样本容量”“概率=满足条件的样本数/总样本数”。
17. （14分）如图，四棱锥 (P-ABCD) 中，底面 (ABCD) 为矩形，(PA perp) 平面 (ABCD)。
（1）求证：(BD perp) 平面 (PAC)；
关键步骤： 证 (BD perp AC)（矩形对角线），(BD perp PA)（线面垂直得线线垂直）。
（2）求二面角 (B-PC-D) 的余弦值。
必用方法： 建立空间直角坐标系，求法向量，用 (cos
heta = frac{|vec{n_1} cdot vec{n_2}|}{|vec{n_1}||vec{n_2}|})。
18. （14分）已知函数 (f(x) = e^x
（1）讨论 (f(x)) 的单调性；
口诀： “求导看正负，参数分类论”。导数为 (f'(x)=e^x
（2）若 (f(x) ge 1) 恒成立，求 (a) 的取值范围。
套路： “恒成立问题优先分离参数”。化为 (a le frac{e^x-1}{x})（(x>0)）或 (a ge frac{e^x-1}{x})（(x<0>
19. （14分）已知抛物线 (C: y^2 = 2px)（(p>0)）的焦点为 (F)，过 (F) 的直线交 (C) 于 (A,B) 两点。
高频考点： 抛物线焦点弦长 (|AB|=x_1+x_2+p)、韦达定理、斜率公式。蒙题技巧： 选择题中焦点弦常考 (1/|AF|+1/|BF|=2/p)。
20. （14分）数列 ({a_n}) 满足 (a_1=1)，(a_{n+1} = 2a_n + 1)。
（1）求通项公式；
口诀： “递推看见 (a_{n+1}=ka_n+b)，就设 (a_{n+1}+t=k(a_n+t)) 待定系数”。得 (a_n=2^n-1)。
（2）证明：(frac{1}{a_1} + frac{1}{a_2} + cdots + frac{1}{a_n} < 2>
套路： 放缩法，利用 (frac{1}{2^n-1} < frac>
附：2014年高考数学平均分参考（拿来对比自己练的水平）
家里练手怎么用这套题：
1. 掐时间做：选择题+填空题40分钟内搞定，大题每题10-15分钟。
2. 对答案严格判分：选择填空一题5分，大题按步骤给分，不会的步骤扣掉。
3. 错题直接背套路：比如数列必考递推求通项、导数必考单调性讨论、立体几何必建系。
4. 对照平均分定位：你自测总分若高于97.54（理工平均），说明超过当年一半以上考生。
真题就这些，答案自己算一遍不对再查，比听啥讲解都管用。