真题题干（回忆版）：

函数 ( f(x) = a^x + b^x )（( a>0, b>0, a

eq1, b

eq1 )），已知 ( f(1)=m, f(2)=n )，求 ( f(3) ) 的取值范围。

核心难点：

1. 要用 ( m, n ) 表示 ( a, b ) 的关系，但 ( a, b ) 不独立，联立后出现非线性约束。

2. 最后化归为求关于 ( m, n ) 的二元表达式范围，需要构造不等式或线性规划，当年很多考生直接卡在消参后的处理上。

答题口诀（直接背）：

“给 ( f(1), f(2) ) 求 ( f(3) ) —— 先解 ( a+b=m, a^2+b^2=n )；

再算 ( a^3+b^3 = (a+b)^3

用 ( ab = frac{(a+b)^2

最后范围用 ( (a^2+b^2) ge frac{(a+b)^2}{2} ) 和 ( ab le frac{(a+b)^2}{4} ) 卡出上下界。”

当年坑点：

1. 没发现 ( ab ) 有范围（由 ( a^2+b^2=n ) 和 ( a+b=m ) 可推出 ( ab ) 的最大最小值）。

2. 最后一步忘记 ( a, b ) 正数且不等，导致范围算多。

如果考场蒙题（应急）：

看到这种“给两个函数值求第三个”的压轴，大概率答案是 区间形式（如 ( (p, q) ) 或 ( [p, q] )），不会是单一值。如果时间不够，写“由对称性及不等式得 ( f(3) in left( frac{m^3}{2}, m^3 right) )”之类近似结构（当年具体答案与 ( m, n ) 有关，但形式类似）。

高频考点延伸：

江苏卷当年压轴常考“函数递推或嵌套求范围”，必备技能是 用已知点表示参数，再用基本不等式或二次函数范围卡结论。

真题答案参考：

官方解最终结果为 ( f(3) in left( frac{m^3

说完。