一、核心证明（直接套用版）
1. 已知条件：
( f(x) ) 在 ([a,b]) 连续。
( F(x) = int_{a}^{x} f(t) dt )。
2. 证明目标：
( F'(x) = f(x) )。
推出：(int_{a}^{b} f(x) dx = F(b)
F(a))。
3. 证明步骤（固定套路）：
第一步： 写导数定义。( F'(x) = lim_{Delta x
o 0} frac{F(x+Delta x)
F(x)}{Delta x} )。
第二步： 代入 (F)。( F(x+Delta x)
F(x) = int_{a}^{x+Delta x} f(t) dt - int_{a}^{x} f(t) dt = int_{x}^{x+Delta x} f(t) dt )。
第三步： 用积分中值定理。存在 (xi in [x, x+Delta x])，使 (int_{x}^{x+Delta x} f(t) dt = f(xi) cdot Delta x )。
第四步： 代回极限。( F'(x) = lim_{Delta x
o 0} frac{f(xi) cdot Delta x}{Delta x} = lim_{Delta x
o 0} f(xi) )。
第五步： 因为 (Delta x
o 0) 时 (xi
o x)，且 (f) 连续，所以极限就是 (f(x))。搞定第一部分。
第六步： 既然 (F(x)) 是 (f(x)) 的一个原函数，那么定积分直接套公式：(int_{a}^{b} f(x) dx = F(b)
F(a))。结束。
二、真题答题模板（直接往卷子上抄）
题型识别： 题目让“证明微积分基本定理”或“说明 (frac{d}{dx} int_{a}^{x} f(t) dt = f(x))”。
开头句： “设 (F(x) = int_{a}^{x} f(t) dt)，由于 (f) 在区间上连续……”
中间填充： 严格按照上面六步写，别跳步。
结尾句： “因此有 (int_{a}^{b} f(x) dx = F(b)
F(a))，即牛顿-莱布尼茨公式。”
三、高频考点与坑点
必考变形：
1. 考你 (f(x)) 有间断点怎么办？（答案：定理不成立，直接反驳。）
2. 考你变上限积分求导：(frac{d}{dx} int_{phi(x)}^{psi(x)} f(t) dt)。套路：先拆成两个积分，分别求导，公式是 (f(psi(x)) cdot psi'(x)
f(phi(x)) cdot phi'(x))。
常见扣分点：
1. 没写“(f(x)) 连续”这个条件。一上来必须写，不写扣分。
2. 积分中值定理那步没强调 (xi) 在闭区间内。写清楚“由积分中值定理，存在 (xi in [x, x+Delta x])……”。
3. 最后没点明“牛顿-莱布尼茨公式”。提一下这个名字，显得完整。
记住这六步，题干条件一摆，直接往上套格式，证明分拿全。