题目回顾（理科第21题）
已知函数 ( f(x) = e^x
ax
1 )，讨论 ( f(x) ) 的单调性，并证明：当 ( a > 1 ) 时，存在 ( x_0 > 0 ) 使得 ( f(x_0) < 0> x_0 )，有 ( f(x) > 0 )。
经典解法口诀
1. 单调性讨论：导数 ( f'(x) = e^x
a )
( a leq 0 ) 时，( f'(x) > 0 ) 恒成立，单调递增
( a > 0 ) 时，令 ( f'(x) = 0 ) 得 ( x = ln a )
若 ( x < ln>
若 ( x > ln a )，( f'(x) > 0 )，递增
2. 存在性证明（关键套路）：
当 ( a > 1 ) 时，( ln a > 0 )
取 ( x_0 = ln a )（极小值点），计算 ( f(x_0) = a
aln a - 1 )
令 ( g(a) = a
aln a - 1 )（( a > 1 )），证 ( g(a) < 0>
求导 ( g'(a) = -ln a < 0>
( g(1) = 0 )，所以当 ( a > 1 ) 时 ( g(a) < 0>
3. 后半部分证明：
因 ( x > ln a ) 时 ( f'(x) > 0 )，函数递增
故当 ( x > x_0 ) 时，( f(x) > f(x_0) )
结合 ( lim_{x
o +infty} f(x) = +infty )，必存在 ( x_1 > x_0 ) 使 ( f(x_1) > 0 )
由单调性，所有 ( x > x_1 ) 时 ( f(x) > 0 )（实际上 ( x > x_0 ) 即可，因 ( f ) 在 ( x_0 ) 后一直增）
高频考点套路句式
讨论单调性：先求导，分“导数恒正/恒负”和“有零点”两种情况
证明存在零点：找特殊点（如极值点），构造辅助函数证其符号
证明后续性质：利用单调性+极限，直接推结论
真题答案关键点
单调区间写法：递减区间 ( (0, ln a) )，递增区间 ( (ln a, +infty) )（当 ( a>1 )）
证明 ( f(x_0)<0 g(1)=0>
最后一步用“单调递增+极限正无穷”说明最终函数值为正
蒙题提醒
压轴题最后一问常考“存在性+单调性组合”，答案结构通常是：
1. 找到一个特殊点
2. 证明该点函数值负
3. 说明之后函数递增且趋于正无穷，所以之后函数值正
说完即停。