题目回顾
已知函数 ( f(x) = x(1
（1）讨论 ( f(x) ) 的单调性；
（2）设 ( a, b ) 为两个不相等的正数，且 ( b ln a
（1）单调性讨论
1. 求导
( f'(x) = 1
2. 定正负
定义域 ( x > 0 )，
( f'(x) > 0 ) 时 ( -ln x > 0 Rightarrow ln x < 0>
( f'(x) < 0> 0 Rightarrow x > 1 )。
3. 写结论
( f(x) ) 在 ( (0, 1) ) 单调递增，在 ( (1, +infty) ) 单调递减，极大值点 ( x=1 )，无极小值。
（2）不等式证明
1. 处理所给等式
由 ( b ln a
[
frac{ln a}{a}
]
整理得：
[
frac{ln a + 1}{a} = frac{ln b + 1}{b}
]
令 ( frac{1}{a} = x_1 )，( frac{1}{b} = x_2 )，则 ( x_1, x_2 > 0 ) 且 ( x_1
eq x_2 )，代入得：
[
-x_1 ln x_1 = -x_2 ln x_2
]
即 ( x_1 ln x_1 = x_2 ln x_2 )。
2. 构造函数
令 ( g(x) = x ln x , (x > 0) )，则 ( g(x_1) = g(x_2) )。
求导 ( g'(x) = ln x + 1 )，令 ( g'(x) = 0 ) 得 ( x = frac{1}{e} )。
( g(x) ) 在 ( (0, frac{1}{e}) ) 递减，在 ( (frac{1}{e}, +infty) ) 递增。
3. 确定范围
不妨设 ( 0 < x>
原证 ( 2 < x>
4. 左半部分 ( x_1 + x_2 > 2 )
由 ( g(x_1) = g(x_2) )，且 ( x_1 in (0, frac{1}{e}) )，取 ( t in (0, frac{1}{e}) ) 使 ( x_1 = t )，则存在 ( x_2 > frac{1}{e} ) 使 ( g(t) = g(x_2) )。
考虑对称性，作差或利用函数性质分析（常规手法：令 ( h(t) = t + x_2
5. 右半部分 ( x_1 + x_2 < e>
类似构造，利用 ( g(x) ) 在 ( (frac{1}{e}, +infty) ) 增长快于线性，通过极值点偏移经典结论可得 ( x_1 + x_2 < e>
关键点
注：考试时需详细写出构造、求导、分析单调性及零点的完整过程，此处仅梳理主思路。