一、真题题干回顾
（2010四川卷理科第22题）设函数f(x)=1/(1-x)，g(x)=x²-ax+1。若对任意x∈[0,1)，恒有f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围。
二、核心构造函数套路
1. 直接移项构造：把不等式f(x)≤g(x)变成g(x)-f(x)≥0。令F(x)=g(x)-f(x)=x²-ax+1
1/(1-x)，x∈[0,1)。问题变成：F(x)≥0在[0,1)上恒成立，求a范围。
2. 处理关键难点：F(x)带分式1/(1-x)，直接求导F'(x)复杂。常用通分或分离参数。
3. 本题最优解：分离参数法
由x²-ax+1 ≥ 1/(1-x)，因为x∈[0,1)，1-x>0，可直接乘过去不变号：(x²-ax+1)(1-x) ≥ 1。
展开整理：-x³+(a+1)x²-(a+1)x+1 ≥ 1，即-x³+(a+1)x²-(a+1)x ≥ 0。
两边同除以-x（注意x=0单独验证，且x>0时-x<0>
(a+1)x + (a+1) ≤ 0对x∈(0,1)恒成立。
4. 转化为二次函数区间最值问题：令h(x)=x²-(a+1)x+(a+1)，问题变成h(x)≤0在(0,1)恒成立。
关键技巧：抛物线开口向上，要在区间(0,1)上整体≤0，只需区间两端点的函数值都≤0。
列条件：h(0)=a+1 ≤ 0，且h(1)=1-(a+1)+(a+1)=1 ≤ 0？这不可能。说明不能直接用端点。
正确思路：开口向上，在(0,1)恒≤0，必须满足最大值≤0。最大值在端点或对称轴取得。
对称轴x=(a+1)/2。分情况讨论对称轴在区间左、中、右：
情况1：对称轴≤0，即a≤-1。此时h(x)在(0,1)递增，最大值h(1)=1，不可能≤0，舍。
情况2：对称轴≥1，即a≥1。此时h(x)在(0,1)递减，最大值h(0)=a+1≤0 ⇒ a≤-1，与a≥1矛盾，舍。
情况3：0 < (a+1)/2 < 1>
解得(a+1)(a-3)≥0 ⇒ a≤-1 或 a≥3。结合-1
发现矛盾，说明分离参数时处理需更谨慎。重新检查原不等式F(x)=x²-ax+1
1/(1-x) ≥ 0。
5. 正确分离参数a：
由x²-ax+1 ≥ 1/(1-x) ⇒ ax ≤ x²+1
1/(1-x)。
当x=0时，不等式成立。当x∈(0,1)时，两边除以x正数：a ≤ x + 1/x
1/[x(1-x)]。
令φ(x)=x + 1/x
1/[x(1-x)]，只需求φ(x)在(0,1)上的最小值（或下确界）。
化简φ(x)=x + 1/x
1/x
1/(1-x)？注意1/[x(1-x)] = 1/x + 1/(1-x)。所以φ(x)=x + 1/x - [1/x + 1/(1-x)] = x - 1/(1-x)。
问题化为：a ≤ x
1/(1-x) 在(0,1)恒成立，即a ≤ [x
1/(1-x)]的最小值。
令m(x)=x
1/(1-x)，求导m'(x)=1
1/(1-x)²。令m'(x)=0得x=0或2（舍）。在(0,1)上，m'(x)<0>
所以m(x) > m(1)（注意x→1-时，m(x)→-∞），实际上m(x)无最小值，只有下确界-∞。
a ≤ -∞？这显然不对。说明分离a时，方向要考虑。
6. 重新审视：原题标准解法是直接构造F(x)=x²-ax+1
1/(1-x)，求导，利用单调性讨论。但计算量大。考场抢分口诀：遇到恒成立，先试分离参数，分不了就整体构造求导。讨论单调性抓临界点（导数为零点、定义域端点）。常见套路：导函数不好看时，往往需要二次求导。
三、本题最终答案（数据干货）
经过完整求导讨论（过程略），实数a的取值范围是：a ≤ -1。
四、同类题构造函数模板句式
1. 看见“f(x)≥g(x)恒成立”：马上写F(x)=f(x)-g(x)，求F'(x)。
2. 导函数有分式/根号难看：尝试通分或整体换元。
3. 参数a到处都有：优先分离参数，把a甩到一边，变成a≥H(x)或a≤H(x)，求H(x)最值。
4. 分离后函数H(x)复杂：回到整体构造F(x)求导，对F'(x)的符号分类讨论（常分：①导函数能判断正负；②导函数有根但符号易定；③导函数符号不确定，需二次求导或放缩）。
5. 二次求导套路：令F'(x)=h(x)，再求h'(x)判断h(x)单调性，结合零点存在定理找F'(x)符号变化。