核心思路： 把要证的等式或不等式，变成函数零点或导数问题。按这个路子套。
通用三板斧模板：
1. 设函数： 看见要证的式子里有 f(b)-f(a)、f'(ξ)、f''(ξ) 这些，就把其中一个常数（通常是a或b）换成变量x，构造辅助函数 F(x)。口诀：“找原函数，用拉格朗日”，或者直接把结论等式一边全移到左边，令整个左边为F(x)。
例：要证 f'(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0，就设 F(x) = f(x) e^{∫g(x)dx} （常用技巧，叫“积分因子法”）。
2. 验条件： 看一眼 F(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，开区间 (a, b) 内可导。通常题目给的条件够你用，这一步一句话带过就行：“由题设，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导”。
3. 用定理：
如果要证的是等于零（零点、导数为零）：
如果能找到 F(a)=F(b)，直接用罗尔定理，结束。
如果找不到，试试对 F(x) 用拉格朗日中值定理，或者对 F(x) 和另一个简单函数（比如x）用柯西中值定理。
如果要证的是不等式或函数值比较： 优先考虑用拉格朗日中值定理（出现函数差值）或泰勒中值定理（出现高阶导数）。
必背套路句式：
开头句： “构造辅助函数 F(x) = ________。”
过渡句： “易见，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 F(a) = ___， F(b) = ____。”
结论句： “由罗尔定理，至少存在一点 ξ∈(a,b)，使得 F'(ξ)=0，即 ________（把原结论抄一遍） 成立。”
高频考点与对应定理：
出现 f'(ξ)=0 或 f'(ξ) 与某式相等 → 优先想罗尔定理。
出现 f(b)-f(a) 与 f'(ξ) 的关系 → 必用拉格朗日中值定理。
出现两个函数在两点之差的比值 → 想柯西中值定理。
出现高阶导数（f''(ξ)）或函数复杂展开 → 想泰勒中值定理（在指定点展开）。
蒙题应急： 如果完全没思路，就把题设中的函数在区间中点或者端点处泰勒展开写几步，然后想办法凑出要证的式子，说不定能蒙上步骤分。