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升学考试 广东2013年高考文科数学最后一题解题思路有没有

广东2013年高考文科数学最后一题解题思路有没有

已知函数 ( f(x) = e^xax )（( a in mathbb{R} )），讨论其单调性，并证明当 ( a > e ) 时，( f(x) ) 在区间 ((0, ln a)) 上存在唯一零点。解题

栏目：升学考试 作者：admin 更新时间：2026-06-10 17:13 阅读：54 次

已知函数 ( f(x) = e^x

  • ax )（( a in mathbb{R} )），讨论其单调性，并证明当 ( a > e ) 时，( f(x) ) 在区间 ((0, ln a)) 上存在唯一零点。

    • 解题口诀（直接套用）

    1. 求导定单调

  • 第一步永远先写 ( f'(x) = e^x
  • a ) 。
  • 单调性只看 ( f'(x) ) 正负：
  • ( a leq 0 )：( f'(x) > 0 ) 恒成立 → 全区间增。
  • ( a > 0 )：令 ( f'(x) = 0 ) 得 ( x = ln a )，
  • ( x < ln>
  • ( x > ln a ) 时 ( f'(x) > 0 ) → 增区间 ( (ln a, +infty) ) 。

    • 2. 零点存在性证明

  • 关键套路：先证存在，再证唯一。
  • 存在性：用 零点定理（函数连续 + 端点值异号）。
  • 当 ( a > e ) 时，( ln a > 1 )。
  • 取左端点 ( x=0 )：( f(0) = 1 > 0 )；
  • 取右端点 ( x=ln a )：( f(ln a) = a
  • aln a = a(1-ln a) )。

    • ∵ ( a > e )，∴ ( ln a > 1 )，∴ ( f(ln a) < 0>

  • 故 ( f(0) cdot f(ln a) < 0>

    3. 唯一性证明

  • 单调性锁定：前面已证当 ( a > 0 ) 时，( f(x) ) 在 ( (-infty, ln a) ) 单调递减。
  • 零点区间 ((0, ln a)) 是减区间的子区间 → 函数在此区间内严格单调递减 → 至多有一个零点。
  • 结合存在性，得 唯一零点。

    • 4. 压轴题常见坑点

  • 一定要先写定义域 ( mathbb{R} )（虽显白但占分）。
  • 讨论单调性必须分类：( a leq 0 ) 和 ( a > 0 ) 两种情况，少一类扣分。
  • 证明唯一性时，必须说明“严格单调”→“至多一个零点”→与存在性结合得唯一。文科生易漏“至多一个”的逻辑。

    • 附：当年考生反馈

    “最后一题函数求导大题比较难”，尤其分类讨论和唯一性证明是文科生弱项。但题型其实熟悉：就是 导数→单调性→零点定理+单调性证唯一 的固定流程，没跑出模板。

    阅读提示

    建议先抓核心知识点，再看例题或表达方式，复习时可结合范文素材和作文栏目一起使用。

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