压轴题最后一问让求正整数k的最大值，使 $f(x)>frac{k}{x+1}$ 恒成立。这玩意儿核心就两个套路，你看懂就能“想到”了：
套路一：参变分离，造个新函数
直接把k弄到不等式一边，x弄到另一边，变成 $k < (x+1)frac{1+ln(x+1)}{x}$ 在x>0时恒成立。这就等于说：k必须小于右边这个新函数 $h(x)$ 的最小值。接下来就是标准操作：对 $h(x)$ 求导，找它的极小值点。求导后 $h'(x)=frac{1}{x^2}(x-1-ln(x+1))$。难点在于导函数零点 $x=a$ 解不出来，这时候“设而不求”：就设 $a-1-ln(a+1)=0$，知道 $a$ 在(2,3)之间就行。然后把 $a$ 代回 $h(x)$ 的表达式，巧妙利用上面设的等式，最后算出 $h(a)=a+1$ 在(3,4)之间。所以k最大能取3。核心思想：把恒成立问题转化为求函数最值问题，参数分离是最常用的一招。
套路二：直接移项，研究新函数
不分离参数也行。把不等式移项成 $f(x)-frac{k}{x+1} > 0$，令 $h(x)=f(x)-frac{k}{x+1}$。化简后变成研究 $p(x)=1+ln(x+1)-frac{kx}{x+1}$ 是否恒大于0。对 $p(x)$ 求导得 $p'(x)=frac{x+1-k}{(x+1)^2}$。这里导函数零点很干净，就是 $x=k-1$。那么 $p(x)$ 的最小值就在 $x=k-1$ 处，代入得 $p(k-1)=ln k
总结“想到”的路径：
1. 识别题型：看到“恒成立求参数范围”，马上锁定两种主要方法：参变分离求最值，或者构造差函数求最值。
2. 选择方法：先试试参变分离，如果分离后新函数导数零点不好解（比如这道题），就考虑“设而不求”，用零点存在性定理估算范围。如果分离后函数复杂，立马换第二招——直接移项构造差函数，往往有奇效。
3. 卡住点处理：导数零点求不出来别硬算，把它设出来，利用它满足的方程去化简后续表达式，这是压轴题常见伎俩。
拿分口诀：恒成立，两招鲜，分离变量或移项；零点难解就设出，利用关系把值算。