先说答案,2012年江苏卷的立体几何大题是第16题,题目是证明线面平行和垂直。
这道题考的是直三棱柱,第一问让证明线线垂直,第二问让证明线面平行。
怎么画辅助线?核心就一个口诀:看中点,连中位线。
具体到这道题:
1. 题目里给了M、N分别是棱柱上下底面边上的中点。
2. 你要证的线面平行是“A1F平行于平面B1MN”。
3. 辅助线画法:直接连接A1B,交AB1于点E。因为题目条件里藏着AB1和A1B是正方形(或矩形)的对角线,它们互相平分,所以E就是A1B的中点。
4. 接下来,因为N是B1C1中点,你就在三角形A1B1C1里看,MN就是中位线,所以MN平行于A1C1。整个棱柱的侧棱AA1、BB1、CC1都是平行且相等的,再结合一些边长相等的关系,就能推出A1F平行于EN。
5. 根据“一条直线(A1F)平行于平面内的一条直线(EN)”,就证出了线面平行。
说白了,江苏卷这道题的辅助线,就是利用中点构造平行四边形或中位线,把要证的线“挪”到同一个平面里来处理。 这种题在江苏卷立体几何里算常规难度,比后面解析几何那道“史诗级”大题简单多了。