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升学考试 四川2012年高考数学立体几何题,用向量法秒解

四川2012年高考数学立体几何题,用向量法秒解

题设摘要(回忆版):长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,已知棱长及点E、F位置,求二面角或线面角问题。向量法操作:1. 建系:以A为原点,AB、AD、AA₁方向为x、y、z轴。2. 标坐标:按已知长度写出各点坐标(比如A(0,0,0), B...

题设摘要(回忆版):

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,已知棱长及点E、F位置,求二面角或线面角问题。

向量法操作

1. 建系:以A为原点,AB、AD、AA₁方向为x、y、z轴。

2. 标坐标:按已知长度写出各点坐标(比如A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,b,0), A₁(0,0,c)等)。

3. 找相关向量:比如求二面角E-FG-H,就取平面EFF₁的法向量n₁和平面GFH的法向量n₂。

4. 算法向量:用叉乘(或设未知数解垂直)搞定n₁、n₂。

5. 套公式:二面角θ满足cosθ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)。

6. 秒出答案:代数据算完即得,比几何法快一倍。

口诀

“见立体几何直接建系,坐标写准,向量叉乘,公式一怼,答案就位。”

核心套路句式

“设A为原点,三棱方向为轴;坐标按已知写;求法向量用叉乘;二面角公式cosθ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)。”

高频考点

  • 二面角计算(向量法最稳)
  • 线面角(用方向向量与法向量夹角转化)
  • 点到平面距离(用向量投影公式)
  • 真题答案

    当年答案具体数值依题而定,但用上述流程可速解,标准答案格式为“arccos(某值)”或角度值。

    注意事项

  • 建系时确保两两垂直
  • 叉乘顺序别搞反(右手法则)
  • 最后判断二面角是锐角还是钝角(看图形直观)
  • 说完即停。

    阅读提示

    建议先抓核心知识点,再看例题或表达方式,复习时可结合范文素材和作文栏目一起使用。