直接上硬货，记住这几条，碰到证明题往里套：
一、存在性问题（证“至少存在一点ξ使得...”）
套路： 闭区间上连续函数，想最值定理、介值定理；有导数？想罗尔定理、拉格朗日中值定理。看见积分中值？直接写。
万能句式： “由题设条件，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=...，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得F'(ξ)=0，即原命题得证。”
二、不等式证明问题
套路： 一阶导看单调性，二阶导看凹凸性。常数不等式？设函数用单调性。看到积分不等式，用柯西、施瓦茨或放大缩小法。
万能句式： “构造函数f(x)=...，求导得f'(x)=...，在给定区间内恒大于（小于）零，故f(x)单调递增（递减），结合端点值，得证。”
三、数列极限存在性问题
套路： 单调有界准则。先证有界（数学归纳法或放缩），再证单调（作差或作商看正负）。
万能句式： “先用数学归纳法证明数列{x_n}有上（下）界...，再证x_{n+1}-x_n ≥0（≤0），由单调有界准则知极限存在。”
四、中值定理相关证明（难但套路深）
核心： 找原函数和辅助函数。
找原函数口诀： 要证式子有导数，就把导数式子积分一下试试看。常见f'(ξ)+kf(ξ)=0，辅助函数设成e^{kx}f(x)。
万能步骤： 1. 把结论变形，所有项移到一边。2. 观察导数形式，拼凑出某个函数的导数。3. 设出辅助函数F(x)。4. 验证F(x)满足某中值定理条件，直接套定理得结论。
五、高频考点直接背
1. 拉格朗日中值定理： 出现f(b)-f(a)和f'(ξ)的关系必用。
2. 泰勒公式： 出现高阶导数，或要证的关系复杂，在中点或端点展开。
3. 积分中值定理： 被积函数连续，直接拿来用。
通用操作：
1. 先把题目给的已知条件全部数学式子写出来。
2. 把要证明的结论也写成数学式子。
3. 盯着结论看，倒推需要什么条件，再从已知里找。
4. 实在没思路，把相关定理（最值、介值、零点、罗尔、拉格朗日、柯西）的条件套一下，哪个满足用哪个。
记住，写证明步骤时，必须写明定理成立的全部条件（连续、可导、端点值），一步不能少。格式：“因为...满足...，所以由...定理可知，存在...，使得...成立。” 写完即停。