题目（大纲全国卷理科第18题，分值12分）：
如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形。
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的余弦值。
（Ⅰ）证明PB⊥CD
1. 关键转化：
∵ ∠BAD=90°，∴ AB⊥AD。
∵ △PAB和△PAD都是等边三角形，∴ PA=AB=AD。
连接BD，在Rt△BAD中，设AD=1，则AB=1，BC=2AD=2。
由勾股定理：BD²=AB²+AD²=2，BD=√2。
2. 用勾股定理证垂直：
△PBD中，PB=AB=1，PD=AD=1，BD=√2。
计算：PB²+PD²=1+1=2=BD²，∴ PB⊥PD（勾股逆定理）。
3. 推CD∥AB：
∵ BC=2AD且∠ABC=∠BAD=90°，易证四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD。
已证PB⊥PD，又PD在平面PAD内，而AB∥CD，∴ PB⊥CD（线线平行传递垂直）。
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的余弦值
1. 建系（如图）：
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴（∵ PA⊥AD且PA⊥AB）。
设AD=1，则坐标：
A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), C(2,1,0), P(0,0,1)。
2. 求法向量：
PD=(0,1,-1)，PC=(2,1,-1)。
设法向量n=(x,y,z)，由n·PD=0、n·PC=0：
y-z=0；2x+y-z=0。
取y=1，则z=1，x=0，∴ n=(0,1,1)。
3. 求余弦值：
二面角A-PD-C的平面角即向量AB与n的夹角（注意判断锐角/钝角）。
cos
但需判断二面角锐角：观察图形知二面角为锐角，余弦值为0。
答案速记：
（Ⅰ）证PB⊥PD后平行传递；
（Ⅱ）建系法向量算得余弦值=0。
高频考点：
1. 勾股逆定理证垂直 → 立刻找三边长度。
2. 建系口诀：“有垂直直接用，没垂直作垂线”。
3. 二面角余弦公式：|cosθ|=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)，再看图定符号。
附真题答案：
（Ⅰ）证明略（参考上文）；
（Ⅱ）二面角A-PD-C的余弦值为0。