一、数列极限存在性证明
思路核心： 单调有界准则。先证单调（常用作差或数学归纳法），再证有界（常用放缩或不等式），最后直接得结论。
口诀： “单调有界必有极限，两步走完直接写。”
二、中值定理相关证明（罗尔、拉格朗日、柯西）
套路句式：
1. 罗尔定理： “找俩点值相等，中间必有导数为零。”
2. 拉格朗日： “函数差除以自变量差，等于中间某点导数。”
3. 关键操作： 构造辅助函数 (F(x))。常用方法：把要证的等式里的常数换成 (x)，移项后令为 (F(x))；或者直接观察原等式，凑成某个函数导数的形式。
高频考点： 双中值问题（存在 (xi, eta) 使某等式成立），思路通常是 两次用中值定理，在不同区间上用。
三、不等式证明
主要路子：
1. 单调性法： 令 (F(x)=左边-右边)，求导看单调，找最大最小值。
2. 中值定理法： 特别是题干带“至少存在一点”的，直接拉格朗日或柯西往上靠。
3. 泰勒展开法： 题干有高阶导数信息或特定点展开，用泰勒公式展开后放缩。
口诀： “要证不等式，函数求导看增减；条件带‘存在’，中值定理是首选；高阶导数露痕迹，泰勒展开往里代。”
四、函数、导数相关性质证明（连续性、可导性、奇偶性等）
连续性/可导性证明： 直接用定义。极限值等于函数值证连续；导数极限定义存在证可导。
奇偶性、周期性证明： 代定义 (f(-x)) 或 (f(x+T))，化简后看是否等于 (f(x)) 或 (-f(x))。
五、线性代数相关证明（向量组、矩阵、方程组）
向量组线性无关证明：
定义法： 设 (k_1alpha_1 + ... + k_nalpha_n = 0)，推出一组系数只能全为零。
秩法： 证向量组秩等于向量个数。
反证法： 假设线性相关，推出矛盾。
矩阵秩相关证明：
套路： 利用秩不等式 (r(A+B) leq r(A)+r(B))，(r(AB) leq min(r(A), r(B)))，结合题目条件拼凑。
方程组解的结构证明：
核心： 用基础解系、解空间维度理论。证解的存在性，往往转到证系数矩阵秩与增广矩阵秩的关系。
六、空间解析几何与多元微分证明（偏导、极值、曲面切平面等）
偏导数等式证明： 直接用偏导定义计算，或者利用链式法则、复合函数求导。
极值、最值存在性证明： 结合区域闭性、函数连续性（有界闭区域上连续函数必有最值），或利用二阶偏导（黑塞矩阵）判断极值。
通用操作：
看见“至少存在一点”： 中值定理或零点定理。
看见“任意…存在…”： 先固定一个，用中值定理或极限性质。
条件有高阶导数信息： 优先考虑泰勒公式。
证明恒等式或特定值： 试试构造辅助函数，用罗尔定理（因为导数为零原函数为常数）。
线代证明卡住了： 想想秩、想想基础解系、想想定义。