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升学考试 浙江高考数学2014年理科卷最后一道大题怎么解

浙江高考数学2014年理科卷最后一道大题怎么解

题目类型：函数与导数综合题（数列不等式证明）核心步骤：1. 第一问（求参数）已知函数 ( f(x) = x^3 + 3|x-a| )（a∈R），求( f(x) )在( [-1,1] )上的最小值。口诀：分段讨论去绝对值，按a的取值范围分三

栏目：升学考试 作者：admin 更新时间：2026-05-25 02:42 阅读：81 次

题目类型：函数与导数综合题（数列不等式证明）

核心步骤：

1. 第一问（求参数）

已知函数 ( f(x) = x^3 + 3|x-a| )（a∈R），求( f(x) )在( [-1,1] )上的最小值。

口诀：分段讨论去绝对值，按a的取值范围分三种情况（a≤-1，-1

2. 第二问（证明不等式）

设( b_n = (sqrt{n^2+1}

  • sqrt{n^2-1}) )，证明：( b_1 + b_2 + cdots + b_n > sqrt{2n^3+3n}
  • sqrt{2} )。

    • 关键套路：

  • 先化简( b_n )：用立方差公式有理化，得

    • ( b_n = frac{2}{sqrt{(n^2+1)^2} + sqrt{n^4-1} + sqrt{(n^2-1)^2}} )。

  • 放缩技巧：分母缩小为( 3sqrt{n^4-1} )（因三项均≥( sqrt{n^4-1} )），得

    • ( b_n > frac{2}{3sqrt{n^4-1}} )。

  • 再换元令( t = n^2 )，转化为积分放缩：

    • ( sum_{k=1}^n frac{2}{3sqrt{k^4-1}} > int_1^{n+1} frac{2}{3sqrt{x^4-1}} dx )。

  • 计算积分可得右边目标式（需匹配题干形式）。

    • 踩分点：

  • 去绝对值分类讨论完整（少一种扣分）。
  • 放缩方向不能反，分母缩小整体变大。
  • 积分放缩时写明“由定积分几何意义或单调性”得不等式。

    • 真题答案对照：

    最终不等式用数学归纳法也可证，但放缩+积分是标答主流解法。

    阅读提示

    建议先抓核心知识点，再看例题或表达方式，复习时可结合范文素材和作文栏目一起使用。

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