一、核心套路
1. 三大定理：罗尔、拉格朗日、柯西。
罗尔：f(a)=f(b)→存在导数零点。口诀：两头一样高，中间有平路。
拉格朗日：f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。口诀：两头连直线，中间有平行。
柯西：两个函数差值比=导数比。口诀：俩函数一起比，导数也对应比。
直接记图形：罗尔看水平线，拉格朗日看斜率线，柯西看参数方程。
2. 证明题三板斧
看到“至少存在一点”→先想构造辅助函数F(x)。
构造技巧：把要证的等式变形，凑成导数形式。
万能句式：设F(x)=……，验证F在[a,b]连续可导，且F(a)=F(b)，由罗尔定理得证。
3. 高频考点
必考题型：用中值定理证明不等式。
套路句式：对f(x)在区间上用拉格朗日，得|f(x)-f(y)|=|f'(ξ)|·|x-y|≤M·|x-y|。
真题答案常见步骤：先设区间，再写定理公式，最后放缩。
二、蒙题技巧（实在不会时用）
选择题问“存在几个点”：优先选1个。
证明题题干有“连续”“可导”字样：答案必用罗尔或拉格朗日。
看到f''(x)讨论：大概率用两次中值定理。
三、知识点压缩包
罗尔关键：端点值相等+连续可导。
拉格朗日关键：只要求连续可导，不要求端点值相等。
柯西关键：两个函数都连续可导，且g'(x)≠0。
直接背：罗尔要等值，拉格朗日不要，柯西要两个函数。
说完即停。