已知函数 ( f(x)=frac{1}{2}ax^2-(a+1)x+ln x (a>0) )，若对任意 ( x_1, x_2 in (0,+infty) )，且 ( x_1
eq x_2 )，均有 ( frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} > -1 ) 成立，则实数 ( a ) 的取值范围是______。
答案：
[
a geq frac{1}{2}
]
解题口诀：
1. 条件“(frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} > -1)”等价于“(f(x_1)+x_1 > f(x_2)+x_2)”，即函数 (g(x)=f(x)+x) 在 ((0,+infty)) 上单调递增。
2. 写出 (g(x)=frac{1}{2}ax^2
3. 单调递增等价于 (g'(x) geq 0) 在 ((0,+infty)) 恒成立，即 (ax + frac{1}{x} geq a)。
4. 用均值不等式：(ax + frac{1}{x} geq 2sqrt{a})（当 (ax=frac{1}{x}) 时取等）。
5. 问题转化为 (2sqrt{a} geq a)，解得 (0 < a x=frac{1}{sqrt{a}})>0) 验证后得 (a geq frac{1}{2})（详细验证需考虑 (g'(x)) 最小值是否达标）。
直接背结论：
遇到“斜率差＞常数”化单调性，用导数转恒成立，均值不等式定范围，验证端点防丢解。