题面：已知数列 ({a_n}) 满足 (a_1=1)，(a_{n+1}=a_n + frac{1}{a_n})，求证：对任意正整数 (n)，都有 (sqrt{2n} < a>
这题关键思路就是“放缩法”夹逼。第一问不难，第二问解完整很困难。
核心思路拆解：
1. 第一步：建立不等式的基本关系
已知递推式 (a_{n+1}=a_n + frac{1}{a_n})。第一步通常先证明 (a_n) 是递增数列且大于1，这好证。关键在于把要证的式子 (sqrt{2n} < a>
2. 第二步：数学归纳法配合放缩
这题标准解法是用数学归纳法。假设当 (n=k) 时，(sqrt{2k} < a n=k+1)>
左半边（证 (a_{k+1} > sqrt{2(k+1)})）：利用 (a_{k+1}=a_k + frac{1}{a_k})。把已知的 (a_k > sqrt{2k}) 代入，得 (a_{k+1} > sqrt{2k} + frac{1}{sqrt{2k}})。再证明 (sqrt{2k} + frac{1}{sqrt{2k}} > sqrt{2(k+1)})。这需要一点代数变形或者平方比较。
右半边（证 (a_{k+1} < sqrt>：同理，把 (a_k < sqrt>
3. 第三步：常用“夹逼”与“不等式链”技巧 网上流传的参考答案里，这题经常和另一类压轴导数题（比如讨论 (e^x-1-x-ax^2 ge 0) 恒成立求 (a) 范围）思路相通，都是用已知简单不等式（比如 (e^x ge 1+x)）进行放缩，构造出一个“不等式链”，把复杂表达式夹在中间。这道数列题本质也是构造合适的上下界，把 (a_{n+1}) 夹住。 考场急救口诀（拿来就能用）： 看见递推数列求证复杂不等式，先想数学归纳法。 归纳关键在“利用假设条件代入递推式”。 代入后得到的新不等式如果直接证不动，尝试“两边平方”或“取倒数”变形后再比较。 实在卡住，检查中间是不是要用到一个基础不等式（比如 (sqrt{2k} + frac{1}{sqrt{2k}} > sqrt{2(k+1)})），这种小不等式经常要单独证一下。 高频考点与坑点： 这道题把数列、不等式、数学归纳法捆在一起考，是当时全国卷的典型压轴风格。 第二问运算量不小，考场时间紧很容易做不完。策略是第一问稳拿分，第二问尽量写到“由归纳假设得…”那一步，即使最后结果没推完，也能拿不少过程分。 和同年江西卷那种纯数论构造的变态压轴题（比如证明 (a^2, b^2, c^2) 成等差数列）比起来，全国卷这道更“常规”，但需要熟练的放缩技巧。