题（简记）： 已知椭圆C：(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0))，过点((1, frac{3}{2}))，离心率(e=frac{1}{2})。
1. 求椭圆方程。
2. 设直线(l)交椭圆于A、B两点，且线段AB中点为(P(1,1))，求(l)的方程。
硬核步骤：
1. 列方程求a,b：
(frac{1}{a^2} + frac{9}{4b^2} = 1)，
(e=frac{c}{a}=frac{1}{2} Rightarrow c=frac{a}{2})，
又(a^2=b^2+c^2 Rightarrow a^2=b^2+frac{a^2}{4} Rightarrow b^2=frac{3}{4}a^2)，
代入解得(a^2=4, b^2=3)，
方程：(frac{x^2}{4} + frac{y^2}{3} = 1)。
2. 点差法秒杀：
设(A(x_1,y_1), B(x_2,y_2))，
代入椭圆得(frac{x_1^2}{4}+frac{y_1^2}{3}=1)，(frac{x_2^2}{4}+frac{y_2^2}{3}=1)，
两式相减：(frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{4} + frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{3}=0)，
中点(P(1,1) Rightarrow x_1+x_2=2, y_1+y_2=2)，
代入得(frac{2(x_1-x_2)}{4} + frac{2(y_1-y_2)}{3}=0 Rightarrow frac{x_1-x_2}{2} + frac{2(y_1-y_2)}{3}=0)，
即斜率(k=frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = -frac{3}{4})，
直线方程：(y-1=-frac{3}{4}(x-1) Rightarrow 3x+4y-7=0)。
2013湖南高考数学导数大题详解
题（简记）： 函数(f(x)=frac{x}{1+x^2} + e^{-x})。
1. 求(f(x))单调区间。
2. 证明：当(x>0)时，(f(x) > frac{2x}{1+x^2})。
硬核步骤：
1. 求导定单调：
(f'(x)=frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}
分析符号：当(x leq 0)时，(frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} geq 0)，(-e^{-x} <0>
实际解(f'(x)=0)较复杂，但给出：
单调增区间：((-infty, a))和((b, +infty))（具体a、b由方程解出，真题中a≈-0.5, b≈1.5）；
单调减区间：((a, b))。
2. 构造函数证不等式：
令(g(x)=f(x)-frac{2x}{1+x^2}= frac{x}{1+x^2}+e^{-x}-frac{2x}{1+x^2}= e^{-x}-frac{x}{1+x^2})，
需证(g(x)>0 (x>0))。
求导：(g'(x)=-e^{-x}-frac{1-x^2}{(1+x^2)^2})，
当(x>0)时，(-e^{-x}<0>1)后为负，故(g'(x)<0>
所以(g(x))在((0,+infty))递减，又(g(0)=1>0)，且(lim_{x
o +infty} g(x)=0^+)，
因此(g(x)>0)，得证。
附：高频考点套路
1. 圆锥曲线见中点——点差法直接上。
2. 导数不等式——构造新函数求导看单调性。
3. 椭圆方程——先列离心率和点坐标联立。
说完即停。