题： 函数 ( f(x) = frac{1}{x}
eq1 )），设 ( x_1, x_2 ) 是 ( f(x) ) 的两个零点，且 ( x_1 < x>
（Ⅰ）证明：( x_1 + a x_2 > 2 )；
（Ⅱ）若 ( x_0 ) 满足 ( f'(x_0) = 0 )，证明：( x_1 + x_2 > 2x_0 )。
解法核心关键词拆解
1. 零点的等量代换：由 ( f(x_1)=f(x_2)=0 ) 得 ( frac{1}{x_1} = log_a x_1 )，( frac{1}{x_2} = log_a x_2 )。核心是把对数式转化为指数关系：设 ( frac{1}{x_1} = log_a x_1 = t_1 )，则 ( x_1 = a^{t_1} ) 且 ( t_1 = frac{1}{x_1} )，得 ( x_1 = a^{frac{1}{x_1}} )，同理 ( x_2 = a^{frac{1}{x_2}} )。这个隐函数关系是后续放缩的基础。
2. 切线放缩（对数均值不等式思路）：第（Ⅰ）问目标 ( x_1 + a x_2 > 2 )，关键是把 ( a x_2 ) 用 ( x_2 = a^{frac{1}{x_2}} ) 转化，但直接不好弄。常用技巧是分析 ( f(x) ) 的凸凹性：( f'(x) = -frac{1}{x^2}
3. 极值点偏移套路：第（Ⅱ）问是经典极值点偏移。步骤：
4. 高频考点：
这题就是死磕“极值点偏移”模型，照着三步走：一阶导找极值点，二阶导定凹凸，构造对称差函数比较大小。