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2011年考研数学一真题中值定理证明题，张宇18讲里有类似题吗

题目：2011年数学一真题第18题（拉格朗日中值定理与积分结合证明不等式）。张宇18讲对应：《张宇高等数学18讲》第10讲“中值定理”例10.5、例10.7（题型接近，均为构造函数+拉格朗日/柯西定理综

栏目：升学考试作者：admin 更新时间：2026-05-24 23:24 阅读：77 次

题目：2011年数学一真题第18题（拉格朗日中值定理与积分结合证明不等式）。

张宇18讲对应：

《张宇高等数学18讲》第10讲“中值定理”例10.5、例10.7（题型接近，均为构造函数+拉格朗日/柯西定理综合）。

第13讲“积分不等式”例13.3（思路类似，用中值定理处理积分比较）。

2. 直接甩高频考点与答题套路

核心口诀：

“见到差商想拉格朗日，见到积分想中值定理”。

“不等式证明三步走：一构造函数、二找点用定理、三放缩定号”。

高频坑点：

2011年真题关键在构造`F(x)=∫₀ˣ f(t)dt`，再用拉格朗日处理`F(b)-F(a)/(b-a)`。

张宇18讲同类题强调先变形为`[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(ξ)+辅助函数`。

3. 真题答案关键步骤（精简版）

原题：设`f(x)`在[0,1]连续，(0,1)可导，`f(0)=0`，证明存在ξ∈(0,1)使`f'(ξ)=2∫₀¹ f(x)dx`。

关键构造：

令F(x)=∫₀ˣ f(t)dt，G(x)=e^(-2x)F(x)，

对G(x)用罗尔定理得G'(ξ)=0，展开即得证。

4. 类似题型在张宇18讲中的页码

2019版：第127页例5（拉格朗日与积分混合）、第135页例12（柯西定理证等式）。

2023版：对应章节为“中值定理证明题综合训练”，题号标注为“真题衍生题”。

说完即停。

阅读提示

建议先抓核心知识点，再看例题或表达方式，复习时可结合范文素材和作文栏目一起使用。