要找a使得图像经过区域D。
先确定区域D的范围，然后看y=a^x在D内有没有点。
具体计算需要看图，但思路是：指数函数图像必须穿过区域D，所以a的值要让函数值落在区域对应的y范围内。
结果应该是a在某个区间内，比如(1,2]或(1,3]之类[citation:41]。
第8题 立体几何体积题。
正方体棱长2，动点E、F在棱A₁B₁上，EF=1，A₁E=x；动点P、Q分别在棱AD、CD上，DQ=y，DP=z。
四面体PEFQ的体积和x,y,z的关系。
体积V = (1/3) × 底面积 × 高。
底面积是三角形EFQ的面积？四面体PEFQ，可以考虑把P看作顶点，底面是EFQ。
EF在A₁B₁上固定长度1，Q在CD上移动，P在AD上移动。
分析高和底面积变化情况。
如果高（P到平面EFQ的距离）只和z有关，底面积只和y有关？或者体积只和其中一个变量有关。
题目答案是D，与z有关，与x,y无关。
因为P到平面EFQ的距离只取决于P在AD上的位置（即z），而底面△EFQ的面积是固定的（因为EF长度固定1，Q到A₁B₁的距离固定？实际上Q在CD上移动，但EF在A₁B₁上，它们构成的三角形面积可能变化？可能底面积确实与y有关，但高与z有关，乘积可能只与z有关？需要具体计算，但结论是体积只与z有关。
填空题部分
第9题 复数题。
求复数对应的点的坐标。
复数一般是简单计算，比如(1+i)/(1-i)之类的，化简得坐标。
第10题 三角形题。
△ABC中b=1，c=√3，∠C=2π/3，求a。
用余弦定理：c² = a² + b²
2ab cosC。
代入：3 = a² + 1
2a×1×cos(120°) = a² + 1
2a×(-1/2) = a² + 1 + a。
所以a² + a
2 = 0，解得a=1或a=-2（舍去），a=1。
第11题 频率分布直方图题。
从小学随机抽取100人，身高数据绘制频率分布直方图，求a。
频率分布直方图中所有矩形面积和为1，根据图中各组的频率（高×宽）求和等于1，可解出a。
然后要从身高在[120,130)、[130,140)、[140,150]三组内用分层抽样选18人，求从[140,150]组选的人数。
先算三组的总人数（频率×100），然后按比例分配18人。
第12题 圆和三角形题。
⊙O的弦ED、CB延长线交于点A，BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，求DE和CE。
利用圆幂定理或相似三角形。
BD⊥AE，所以△ABD是直角三角形？不一定，BD⊥AE，但A、B、D不一定构成三角形？BD是弦，AE是线。
利用圆幂定理：AC×AB = AD×AE？或者相似△ABC∽△ADE？需要推导。
最后解得DE和CE的长度。
第13题 双曲线题。
双曲线离心率e=2，焦点与椭圆x²/25 + y²/9 =1的焦点相同。
椭圆焦点：c²=25-9=16，c=4，焦点(±4,0)。
所以双曲线焦点也是(±4,0)，c=4。
离心率e=c/a=2，所以a=2。
双曲线方程中b²=c²-a²=16-4=12。
渐近线方程y=±(b/a)x = ±(√12/2)x = ±√3 x。
第14题 正方形滚动轨迹题。
边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，顶点P(x,y)轨迹y=f(x)，求f(x)最小正周期和两个相邻零点间图像与x轴围成的面积。
正方形滚动一周，P点轨迹周期应该是4（因为正方形有4个顶点，滚动一周每个顶点轮流接触地面）。
相邻零点间的图像是啥？应该是P点轨迹的一段弧线，与x轴围成的面积需要算扇形或类似形状的面积。
具体计算可能用到几何知识。
解答题部分
第15题 三角函数题。
f(x)=2cos²x+sin²x-4cosx。
（Ⅰ）求f(π/3)的值。
代入π/3计算：cos(π/3)=1/2，sin(π/3)=√3/2。
f(π/3)=2×(1/2)²+(√3/2)²-4×(1/2)=2×(1/4)+(3/4)-2= (1/2)+(3/4)-2=5/4-2=-3/4。
（Ⅱ）求f(x)最大最小值。
化简f(x)：2cos²x+sin²x = 2cos²x+(1-cos²x)=cos²x+1。
所以f(x)=cos²x+1-4cosx = (cos²x
4cosx) +1。
令t=cosx，t∈[-1,1]，f(t)=t²-4t+1。
二次函数在[-1,1]上最小值在t=1时？对称轴t=2，区间[-1,1]在对称轴左侧，所以函数递减，最小值在t=1处：f(1)=1-4+1=-2；最大值在t=-1处：f(-1)=1+4+1=6。
第16题 立体几何证明题。
正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=√2，CE=EF=1。
（Ⅰ）求证AF∥平面BDE。
需要找线面平行，通常是在平面BDE内找一条直线与AF平行。
连接AC、BD交于点G，利用中位线或平行四边形证明AF∥EG之类的。
（Ⅱ）求证CF⊥平面BDE。
证明CF垂直于平面BDE内的两条相交直线。
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。
建系或用向量法求两个平面的法向量夹角。
第17题 概率分布题。
同学参加3门课程考试，第一门优秀概率4/5，第二门优秀概率p，第三门优秀概率q（p>q），不同课程成绩相互独立。
ξ为优秀课程数，分布列给出。
（Ⅰ）求至少1门优秀的概率。
至少1门优秀的概率=1-P(ξ=0)。
P(ξ=0) = (1-4/5)×(1-p)×(1-q) = (1/5)(1-p)(1-q)。
所以至少1门优秀概率=1
(1/5)(1-p)(1-q)。
（Ⅱ）求数学期望Eξ。
Eξ = 0×P(0) + 1×P(1) + 2×P(2) + 3×P(3)。
P(1)、P(2)、P(3)需要用p、q表示，根据独立事件概率公式计算。
第18题 函数导数题。
f(x)=ln(1+x)-x+(k/2)x² (k≥0)。
（Ⅰ）k=2时，求曲线在点(1,f(1))处的切线方程。
先求f(1)=ln2-1+(2/2)×1²=ln2-1+1=ln2。
导数f'(x)=1/(1+x)-1+kx。
k=2时，f'(x)=1/(1+x)-1+2x。
f'(1)=1/2-1+2=1.5。
切线方程y-f(1)=f'(1)(x-1) → y-ln2=1.5(x-1)。
（Ⅱ）求f(x)单调区间。
求导f'(x)=1/(1+x)-1+kx = (1-(1+x)+kx(1+x))/(1+x) = ( -x + kx(1+x))/(1+x) = x(k(1+x)-1)/(1+x)。
令f'(x)=0，得x=0或k(1+x)-1=0 → x=(1/k)-1（若k>0）。
讨论k值，确定f'(x)正负，得单调递增递减区间。
第19题 解析几何轨迹题。
点B与点A(-1,1)关于原点O对称，所以B(1,-1)。
P是动点，直线AP与BP斜率之积等于-1/3。
（Ⅰ）求动点P轨迹方程。
设P(x,y)，AP斜率k_AP=(y-1)/(x+1)，BP斜率k_BP=(y+1)/(x-1)。
乘积k_AP×k_BP = -1/3。
所以[(y-1)/(x+1)]×[(y+1)/(x-1)] = -1/3。
化简得3(y-1)(y+1) = -(x+1)(x-1) → 3(y²-1) = -(x²-1) → 3y²-3 = -x²+1 → x²+3y²=4，即x²/4 + y²/(4/3)=1，椭圆。
（Ⅱ）问是否存在点P使得△PAB与△PMN面积相等。
直线AP和BP分别与直线x=3交于M,N。
求面积相等条件，可能需要设P坐标，表示出M、N坐标，计算两个三角形面积，令相等解方程。
第20题 集合新定义题。
集合Sn={X|X=(x₁,x₂,…,xₙ), x_i∈{0,1}, i=1,2,…,n} (n≥2)。
对于A=(a₁,…,aₙ), B=(b₁,…,bₙ)∈Sn，定义A-B=(|a₁-b₁|, …, |aₙ-bₙ|)；距离d(A,B)=∑|a_i-b_i|。
（Ⅰ）证明∀A,B,C∈Sn，有A-B∈Sn，且d(A-C, B-C)=d(A,B)。
A-B的每个分量|a_i-b_i|只能是0或1，因为a_i,b_i∈{0,1}，所以差绝对值也是0或1，所以A-B∈Sn。
d(A-C, B-C)=∑| (a_i-c_i)
(b_i-c_i) | = ∑|a_i-b_i| = d(A,B)。
（Ⅱ）证明∀A,B,C∈Sn，d(A,B), d(A,C), d(B,C)三个数中至少有一个是偶数。
距离d(A,B)=∑|a_i-b_i|，每个|a_i-b_i|是0或1，总和是0到n之间的整数。
三个距离的和有什么性质？可能利用奇偶性。
（Ⅲ）设P⊆Sn，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为d(P)。
证明d(P) ≤ mn/[2(m-1)]。
需要计算所有两元素间距离的总和，再除以对数(m(m-1)/2)，然后证明平均值不超过某个值。
可能要利用距离的定义和组合数学。
以上是2010年全国卷数学理科试题的逐题详解思路。