题目定位：这道题是当年全国卷理科数学第22题（12分），以函数和数列为载体，综合考查递推关系、数学归纳法、不等式证明及通项公式求解。题目没直接给数列递推式，而是通过直线与x轴交点横坐标间接定义相邻项关系，属于创新题型。
题干简记：
函数 ( f(x) = x^2
2x
3 )，已知 ( x_1 = 2 )，( x_{n+1} ) 是过点 ( P(4,5) ) 和点 ( Q_n(x_n, f(x_n)) ) 的直线 ( PQ_n ) 与x轴交点的横坐标。
（1）证明：( 2 leq x_n < x>
（2）求数列 ( {x_n} ) 的通项公式。
（1）不等式证明的硬核操作
核心工具：数学归纳法。
第一步（验证初始项）：
当 ( n=1 ) 时，( x_1 = 2 )，需证 ( 2 leq x_1 < x>
先求 ( x_2 )：点 ( Q_1(2, f(2)) = (2, -3) )，直线 ( PQ_1 ) 斜率 ( k = frac{5
(-3)}{4
2} = 4 )，直线方程 ( y - 5 = 4(x - 4) )。令 ( y=0 ) 解得 ( x_2 = frac{11}{4} = 2.75 )，满足 ( 2 leq 2 < 2>
第二步（归纳递推）：
假设 ( n=k ) 时 ( 2 leq x_k < x n=k+1>
关键利用直线 ( PQ_{k+1} ) 的方程：
斜率 ( k = frac{5
f(x_{k+1})}{4
x_{k+1}} = frac{5 - (x_{k+1}^2 - 2x_{k+1} - 3)}{4 - x_{k+1}} = frac{-x_{k+1}^2 + 2x_{k+1} + 8}{4 - x_{k+1}} )。
整理后得 ( x_{k+2} = 4
frac{3}{x_{k+1} + 1} )（此关系式需由交点横坐标解出，是后续通项求解的桥梁）。
由归纳假设 ( 2 leq x_{k+1} < 3>
x_{k+1} = frac{(x_{k+1}
2)(3 - x_{k+1})}{x_{k+1} + 1} > 0 )，且 ( x_{k+2} < 3>
口诀：数列不等式证明题，先求初始项，再挖递推关系，数学归纳法直接往上套，差值正负用已知范围判断。
（2）通项公式求解的暴力破解
关键变形：由 ( x_{n+1} = 4
frac{3}{x_n + 1} )（此式需从直线方程推导），两边减3得 ( x_{n+1}
3 = 1 - frac{3}{x_n + 1} = frac{x_n - 2}{x_n + 1} )。
取倒数并裂项：
( frac{1}{x_{n+1}
3} = frac{x_n + 1}{x_n
2} = 1 + frac{3}{x_n - 2} )。
再设 ( b_n = frac{1}{x_n
2} )，代入得 ( b_{n+1} = frac{1}{x_{n+1}
2} = frac{x_n + 1}{2(x_n - 2)} = frac{1}{2}b_n + frac{1}{2} )。
数列转化：( b_{n+1}
1 = frac{1}{2}(b_n
1) )，故 ( {b_n - 1} ) 是首项为 ( b_1 - 1 = frac{1}{x_1 - 2} - 1 = frac{1}{0} ) ？注意 ( x_1=2 ) 时 ( b_1 ) 无定义，需直接求 ( b_2 ) 作为首项。
由 ( x_2 = 2.75 )，( b_2 = frac{1}{x_2
2} = frac{4}{3} )，则 ( b_2
1 = frac{1}{3} )，公比 ( frac{1}{2} )。
所以 ( b_n
1 = frac{1}{3} cdot left(frac{1}{2}right)^{n-2} )（( n geq 2 )），即 ( b_n = 1 + frac{1}{3} cdot left(frac{1}{2}right)^{n-2} )。
回代：由 ( b_n = frac{1}{x_n
2} ) 解得 ( x_n = 2 + frac{1}{b_n} = 2 + frac{1}{1 + frac{1}{3} cdot left(frac{1}{2}right)^{n-2}} )（( n geq 2 )），( n=1 ) 时单独写 ( x_1=2 )。
可统一为 ( x_n = 2 + frac{3 cdot 2^{n-2}}{3 cdot 2^{n-2} + 1} )（( n geq 2 )），验证 ( n=1 ) 也符合。
套路句式：遇到递推式 ( x_{n+1} = 4
frac{a}{x_n + b} ) 型，先平移常数（减3或减4），再取倒数裂项，常可构造等差或等比数列。
压轴题拿分点：
第（1）问数学归纳法步骤分必须拿满（验证、假设、推导）。
第（2）问推导 ( x_{n+1} = 4
frac{3}{x_n + 1} ) 的关系式占3分，构造辅助数列 ( b_n ) 占3分，求出通项占2分。
时间不够时保（1）弃（2），12分题至少拿下6分。
真题答案格式：最终通项公式写为分段形式或统一形式均可，阅卷按关键步骤给分。