第一问答案和核心思路

答案：( a=0, b=-1 ) 。

解题思路就两步：

1. 题目说曲线在(0,0)点相切，直接套用两个条件：

函数值相等：( f(0) = 0 )。

导数值相等：( f'(0) = dfrac{3}{2} )。

2. 代入原函数( f(x)=ln (x+1)+sqrt{x+1}+ax+b )和它的导数，解这个方程组就完事。

第二问答案和超简化解法

题目：证明当( 0

关键换元：令 ( t = sqrt{x+1} )，这时 ( x = t^2

作用：直接干掉根号(sqrt{x+1})，式子变清爽。

化简后不等式：证明 ( 2ln t + t

把左边的( 2ln t )放大成( 2(t-1) )，整个左边就变成 ( 2(t-1) + t

最终验证：变成证明 ( 3(t-1) < dfrac>

移项通分得到 (dfrac{3(t-1)^2(t-2)}{t^2+5} < 0>0 )，( t^2+5>0 )，而( (t-2) )在( t<2>

说人话版步骤口诀

1. 切线条件直接代：函数值、导数值俩条件，硬算就行。

2. 根号看见就换元：设( t = sqrt{x+1} )，世界瞬间清净。

3. 对数放缩杀手锏：记住( ln t < t>

4. 化简验证符号：合并同类项，通分，看分子分母符号，一锤定音。

这个方法比官方答案用求导再讨论简单粗暴多了。