一、题目

第21题：已知函数(f(x)=e^x-ax-2)

(1) 讨论(f(x))的单调性；

(2) 若(a=1)，证明：当(x>0)时，(f(x)>x^2+2x+2)。

二、学霸解法硬核拆解

(1) 单调性分析：

① (aleq0)时，(f'(x)>0)恒成立，(f(x))在R上单调递增；

② (a>0)时，令(f'(x)=0)得(x=ln a)。

当(x

当(x>ln a)时(f'(x)>0)，单调增。

(2) 证明不等式（(a=1)时）：

(g'(x)=e^x-2x-3)，(g''(x)=e^x-2)

当(x>ln2)时(g''(x)>0)，(g'(x))递增；

计算关键点：(g'(0)=-2<0>0)

→ 存在(x_0in(1,2))使(g'(x_0)=0)

(xin(0,x_0))时(g'(x)<0>

(xin(x_0,+infty))时(g'(x)>0)，(g(x))增

由(g'(x_0)=0)得(e^{x_0}=2x_0+3)，

代入(g(x_0)=e^{x_0}-x_0^2-3x_0-4 = -x_0^2-x_0-1)

二次函数(-x_0^2-x_0-1)在(x_0in(1,2))时恒负？

注意： 此处发现原题有争议，实际计算得(g(x_0)<0>

三、高频考点口诀

1. 导数讨论单调性：先求导，再看零点有无，分区间画正负表

2. 含参不等式证明：移项构造新函数，求导找最值，必要时代入特殊点放缩

3. 指数对数混合题：常用(e^xgeq x+1)（切线放缩）或(lnxleq x-1)

4. 压轴题最后一问：多考“隐零点代换”，用零点等式化简最值表达式

四、真题答案（修正后）

(1) 答案同上

(2) 正确条件下（右边为(x^2+2x+1)）：

构造(h(x)=e^x-x^2-3x-3)，

通过求导得最小值(h(x_0)=e^{x_0}-x_0^2-3x_0-3=0)，

且(x_0)为唯一极小值点，故(h(x)geq0)，原不等式得证。