2020高考数学立体几何真题讲解
一、真题考点口诀
证明题：线面平行找中位线，线面垂直找相交线。
建系求角：缺垂直先证垂直，法向量口诀“横三竖叉”。
求体积：换底面、找高线，必要时等体积法直接切。
二、高频核心套路
1. 线面平行证明：在面内找一条线，证明它平行于面外那条。首选 中位线，其次 平行四边形。
2. 线面垂直证明：直线必须垂直面内 两条相交直线。题目常给边长，用 勾股定理逆定理 证垂直。
3. 建系前提：必须书面证明三条线两两垂直，缺一不可，否则丢分。
4. 法向量速算：设向量 ( vec{n}=(x,y,z) )，利用 ( vec{n} cdot vec{AB}=0 ) 和 ( vec{n} cdot vec{AC}=0 ) 列方程，直接令 ( x=1 )（或(y=1)）解出另外两个，快。
5. 二面角公式：用两个法向量 ( vec{m}, vec{n} )，公式 ( cos
heta = |frac{vec{m} cdot vec{n}}{|vec{m}||vec{n}|}| )，结果一定是正数。注意看图判断是锐角还是钝角。
三、2020年典型真题（全国卷I）关键步骤
第18题：直三棱柱，底面是直角三角形。
（1）证线线垂直：证 ( BC perp ) 侧面 ( ABB_1A_1 )，所以 ( BC perp AB_1 )。
（2）建系求正弦值：
以 ( B ) 为原点，( BC, BA, BB_1 ) 为轴。
求出平面 ( A_1BC ) 和平面 ( A_1B_1C ) 的法向量 ( vec{m}, vec{n} )。
用公式求二面角余弦值，再用 ( sin^2
heta + cos^2
heta = 1 ) 算正弦。
四、必背模板句式
建系前：“由题干条件 ( XX perp XX )，且 ( XX cap XX = X )，故可以 ( X ) 为原点，建立如图所示空间直角坐标系...”
求法向量：“设平面 ( ABC ) 的一个法向量为 ( vec{n} = (x, y, z) )，由 ( begin{cases} vec{n} cdot overrightarrow{AB}=0 vec{n} cdot overrightarrow{AC}=0 end{cases} ) 得...取 ( x=1 )，得 ( vec{n}=(1, a, b) )。”
求角：“设二面角 ( X-AB-C ) 的平面角为 (
heta )，由图可知为锐角，故 ( cos
heta = |frac{vec{m} cdot vec{n}}{|vec{m}||vec{n}|}| = ... )”
五、常见坑点
建系不证垂直，直接建， 至少扣2分。
法向量求解错误， 检查方程是否列对。
二面角余弦值求对，但 最后正弦值算错。