一、真题回顾（2011山东卷理科第22题）
已知函数(f(x)=frac{lnx}{x})，(g(x)=kx)。
（1）讨论(f(x))极值；
（2）若(f(x)leq g(x))恒成立，求实数(k)取值范围；
（3）证明：(sum_{i=1}^{n}frac{lni}{i^2}
二、核心解法与口诀
1. 导数处理：
遇到分式型（如(frac{lnx}{x})）先求导，口诀：“上导下不导减下导上不导，除以下方平方”。直接套：(f'(x)=frac{1cdot x
lnxcdot 1}{x^2}=frac{1-lnx}{x^2})。
令(f'(x)=0)，得(x=e)。画单调表：((0,e))增，((e,+infty))减。极值直接写：极大值(f(e)=frac{1}{e})，无极小值。
2. 恒成立问题：
不等式(f(x)leq g(x))即(frac{lnx}{x}leq kx)，化为(kgeqfrac{lnx}{x^2})（(x>0)）。转成求(h(x)=frac{lnx}{x^2})的最大值。
再求导：(h'(x)=frac{1-2lnx}{x^3})，令(h'(x)=0)得(x=sqrt{e})。单调性：((0,sqrt{e}))增，((sqrt{e},+infty))减。
最大值(h(sqrt{e})=frac{1}{2e})，所以(kgeqfrac{1}{2e})。答案直接抄：(kin[frac{1}{2e},+infty))。
3. 数列不等式证明（压轴难点）：
看到(sumfrac{lni}{i^2})，立马联想第二问的(h(x)=frac{lnx}{x^2})，关键放缩：(frac{lni}{i^2}<)某个可求和式子。
常用套路：利用(lnxleq x-1)（重要不等式）或从第二问结论反推。本题用(lnxleqfrac{x^2}{2e})（需验证放缩力度）。
实际操作：由第二问知(frac{lnx}{x^2}leqfrac{1}{2e})，所以(frac{lni}{i^2}leqfrac{1}{2e}cdotfrac{1}{i})？错！注意是(frac{lnx}{x^2}leqfrac{1}{2e})，但这里分母已是(i^2)，需另寻放缩。
正确快解：直接利用(lnxleq x-1)，得(frac{lni}{i^2}leqfrac{i-1}{i^2}=frac{1}{i}-frac{1}{i^2})。求和(sum_{i=1}^{n}(frac{1}{i}-frac{1}{i^2})<(sum_{i=1}^{n}frac{1}{i})-(sum_{i=1}^{n}frac{1}{i^2}))，再用调和级数近似和(sumfrac{1}{i^2})收敛到(frac{pi^2}{6})？麻烦。
考场应急法：取前几项直接算（(n=2,3)）验证，再数学归纳法。但标准答案常用“裂项累加”，记结论：此类题最后几步往往用(frac{lni}{i^2}leqfrac{1}{i}-frac{1}{i+1})型放缩，求和后剩(frac{1}{2}-frac{1}{n+1}
实在没时间，写“由第二问结论及数学归纳法得证”，可蹭分。
三、高频考点模板
1. 函数压轴题三步：
一求导（分式、乘幂、对数优先导）；
二画表（单调、极值、最值列表格）；
三转化（恒成立转最值，数列转放缩）。
2. 数列不等式口诀：
“先看通项结构，联想前面函数，放缩成可求和（等差、等比、裂项），不行就数学归纳法。”
3. 时间分配：
压轴题最多15分钟，前两问必须快（5分钟内），第三问10分钟，放缩写两步就有分，别空着。